To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Granica ci ˛ agu — wykład 3 Poj˛ecie granicy ci ˛ agu Rozwa˙zmy ci ˛ ag ( an ) okre´slony przez an = 1 n . Dla dowolnego ε 0 wszystkie, z wyjatkiem co najwy˙zej sko´nczonej liczby, wyrazy tego ci ˛ agu nale˙z ˛ a do epsilonowego otoczenia zera (0 − ε, 0 + ε ) dla dowolnego ε . Zamiast wszystkie z wyj ˛ atkiem co najwy˙zej sko´nczonej liczby b˛edziemy pisa´c prawie wszystkie . Definicja 1 (słowne okre´slenie granicy wła´sciwej ci ˛ agu). Ci ˛ ag ( an ) jest zbie˙zny do granicy wła´sciwej a ∈ R , je´sli w dowolnym otoczeniu epsilonowym a znajduj ˛ a si˛e prawie wszystkie wyrazy tego ci ˛ agu. Poj˛ecie granicy ci ˛ agu— c.d. Definicja 2 (granicy wła´sciwej ci ˛ agu). Ci ˛ ag ( an ) jest zbie˙zny do granicy wła´sciwej a ∈ R,co zapisujemy lim n→∞ an = a, wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego ε 0 istnieje n 0 ∈ N takie, ˙ze dla ka˙zdego n naturalnego wiekszego ni˙z n 0 |an − a| 0 istnieje n 0 ∈ N takie,˙ze dla n n 0 1 n − 0 n 0 b˛edzie spełniona nierówno´s´c 1 n − 0 1 ε . Zatem za n 0 mo˙zna przyj ˛ a´c dowoln ˛ a liczb˛e naturaln ˛ a wi˛eksz ˛ a ni˙z 1 ε . 1 Granica— zastosowania geometryczne Problem. Chcemy obliczy´c pole s figury S ograniczonej prost ˛ a y = 0, prost ˛ a x = 1 i wykresem funkcji f ( x ) = x 2. Rozwi ˛ azanie przybli˙zone. Dzielimy odcinek [0 , 1] na n odcinków o równej długo´sci: 0 , 1 n , 1 n , 2 n , . . . , n − 1 n , 1 . Suma pól sn prostok ˛ atów, których podstawy s ˛ a równe tym odcinkom a wysoko´sci kwadratom ich lewych ko´nców -sensowne przybli˙zenie Pole figury s mo˙zna zdefiniowa´c jako lim n→∞ sn. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x x^2 Rysunek 1: Przybli˙zony sposób obliczania pola figury S „Przykład geometryczny”— c.d. Mamy sn = n k =1 1 n × k − 1 n 2 = 1 n 3 ( n − 1) n (2 n −
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)