Ciągi liczbowe - wykład

Nasza ocena:

5
Pobrań: 21
Wyświetleń: 749
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ciągi liczbowe - wykład - strona 1 Ciągi liczbowe - wykład - strona 2 Ciągi liczbowe - wykład - strona 3

Fragment notatki:


Ci ˛ agi liczbowe — wykład 3 17 pa´zdziernika 2012 Definicja 1 (ci ˛ agu liczbowego). Ci ˛ agiem liczbowym nazywamy funkcj˛e odwzorowuj ˛ a- c ˛ a zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Warto´s´c tej funkcji dla liczby naturalnej n  nazywamy  n -tym wyrazem ci ˛ agu i oznaczamy przez an  ,  bn  itp. Ci ˛ agi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez ( an ), ( bn ) itp. Zbiór wyrazów ci ˛ agu ( an ) oznaczamy przez  {an} . Uwaga 1 Niektórzy autorzy definiujemy ci ˛ ag jako funkcj˛e okre´slon ˛ a na dowolnym podzbiorze liczb naturalnych. Uwaga 2 W ksi ˛ a˙zce D. Wrzoska ci ˛ ag o wyrazach  an, n ∈  N oznaczany jest przez {an}∞ n =1 . Sposoby okre´slania ci ˛ agu Ci ˛ agi liczbowe mo˙zemy okre´sla´c: (i) wzorem: np. an  = 3 n. (ii) opisowo an−  n-ta cyfra po przecinku w rozwini˛eciu dziesi˛etnym liczby  π ; (iii) rekurencyjnie: wyraz ( n  + 1) − szy jest okre´slony jako funkcja pocz ˛ atkowych  n wyrazu ci ˛ agu; np. ci ˛ ag arytmetyczny ( an ) , którego pierwszy wyraz jest równy 1 i ró˙znica  r  jest równa 2, mo˙ze by´c okre´slony rekurencyjnie w nast˛epuj ˛ acy sposób: a 1 = 1 , an +1 =  an  + 2 — por. [Wrz08, str. 109]. Ci ˛ ag geometryczny Definicja 2. Ci ˛ ag ( an ) okre´slony przez a 1 =  a, an +1 =  qan, gdzie a  i  q  sa danymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy ci ˛ agiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a  i ilorazie  q . Przykład 1. W chwili  t  = 1 liczebno´s´c populacji bakterii wynosi 1000. Po upływie czasu T  liczebno´s´c populacji bakterii si˛e podwaja. Przyjmuj ˛ ac T  za jednostk˛e pomiaru czasu liczebno´s´c populacji an  w chwili  t  =  n  mo˙zna okre´sli´c wzorem: a 1 = 1000; an +1 = 2 an. 1 Definicja 3. Ci ˛ ag ( an ) jest ograniczony z dołu, je˙zeli zbiór  {an}  jest ograniczony z dołu, tj. istnieje m ∈  R takie, ˙ze dla ka˙zdego  n ∈  N an m. Definicja 4 (ci ˛ agu ograniczonego z góry). Ci ˛ ag ( an ) jest ograniczony z góry, je˙zeli zbiór {an}  jest ograniczony z góry, tj. istnieje  M ∈  R takie, ˙ze dla ka˙zdego  n ∈  N an M. Przykład Ci ˛ ag  bn  = n n +3 jest ograniczony z góry- ograniczeniem górnym jest np. 1. Definicja 5 (ci ˛ agu ograniczonego). Ci ˛ ag ( an ) jest ograniczony, je˙zeli zbiór  {an}  jest ograniczony, tj. ma zarówno ograniczenie dolne jak i górne. Przykład Ci ˛ ag an  = n n 2 + 1 jest ograniczony. Ograniczeniem dolnym jest np. 0 a ograniczeniem górnym np. 1.

(…)


1
1
− 0 = < ε wtedy i tylko wtedy, gdy n > .
n
n
ε
˙
Zatem za n0 mozna przyja´ dowolna liczb˛ naturalna wi˛ ksza niz 1 .
˛c
˛
e
˛ e
˛ ˙ ε
Granica— zastosowania geometryczne
Problem. Chcemy obliczy´ pole s figury S ograniczonej prosta y = 0, prosta x = 1 i
c
˛
˛
wykresem funkcji f (x) = x2 .
Rozwiazanie przybli˙ one. Dzielimy odcinek [0, 1] na n odcinków o równej długo´ci:
˛
z
s
0,
1
n
,
1 2
,
n n…

Obliczenie granicy ciagu (sn ) bezpo´rednio z definicji— raczej trudne.
˛
s
3
1.0
0.8
0.6
0.0
0.2
0.4
x^2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
˙
Rysunek 1: Przyblizony sposób obliczania pola figury S
Twierdzenie 1 (o arytmetyce granic ciagów). Je˙eli ciag (an ) jest zbie˙ny do granicy
˛
z
˛
z
wła´ciwej a oraz ciag (bn ) jest zbie˙ny do granicy wła´ciwej b, to
s
˛
z
s
lim (an + bn )
=
a + b,
(1)
lim (an − bn )
=
a − b…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz