Szeregi

Nasza ocena:

5
Pobrań: 28
Wyświetleń: 924
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Szeregi - strona 1 Szeregi - strona 2 Szeregi - strona 3

Fragment notatki:


Szeregi — wykład 4 24 pa´zdziernika 2012 Paradoks Zenona z Elei — wersja uwspółcze´sniona Zenek goni Andrzeja: pr˛edko´s´c Andrzeja  vA  = 10 m s  , pr˛ edko´s´c Zenka:  vZ  = 5 m s  . W czasie: t 0 = 0 :  sA ( t 0) =0;  sZ ( t 0) = 10; t 1 = 1 :  sA ( t 1) =10;  sZ ( t 1) = 15; t 2 = 1 , 5 :  sA ( t 2) =15;  sZ ( t 2) = 17 , 5 . . . To post˛epowanie mo˙zna kontynuowa´c w niesko´nczono´s´c. Czy Zenek nigdy nie złapie Andrzeja? Suma kolejnych wyrazów ci ˛ agu geometrycznego sA ( tk ) = 10 + 10  × 1 2 +  . . .  + 10  × 1 2 k− 1 . Czy  sA ( tk ) d ˛ a˙zy do niesko´nczono´sci? Mamy: lim k→∞ sA ( tk ) = lim k→∞ 10 1 2 k −  1 1 2  −  1 = 20  −  20 lim k→∞ 1 2 k = 20 , bo lim k→∞ 1 2 k = 0. Granica ci ˛ agu geometrycznego dla ilorazu  q ∈  ( − 1 ,  0)  ∪  (0 ,  1) Fakt. Niech  q ∈  ( − 1 ,  0)  ∪  (0 ,  1). Wtedy lim k→∞ q k  = 0 . Dowód. We´zmy dowolny   0. Nale˙zy znale´z´c  n 0  ∈  N takie, ˙ze dla  n  n 0 |q n −  0 |   log |q| , wi˛ec mo˙zna za  n 0 przyj ˛ a´c najmniejsz ˛ a liczb˛e całkowit ˛ a wi˛eksz ˛ a lub równ ˛ a log |q|  . Szeregi niesko ´nczone — definicje Dla ci ˛ agu ( an ), o wyrazach  a 1 , a 2 , a 3 , . . .  utwórzmy nast˛epuj ˛ acy ci ˛ ag: s 1 =  a 1 , s 2 =  a 1 +  a 2 , s 3 =  a 1 +  a 2 +  a 3 , . . . Je˙zeli ci ˛ ag ( sn ) ma granic˛e, to granic˛e t˛e oznaczamy symbolem ∞ n =1 an ≡  lim n→∞ sn i nazywamy j ˛ a sum ˛ a szeregu niesko´nczonego  a 1 +  a 2 +  a 3 +  . . . 1 Przykłady • Dla  q ∈  ( − 1 ,  1) i  a ∈  R ∞ n =1 aq n− 1 = a 1  − q ; • ∞ n =1 1 n ( n +1) = 1; • ∞ n =1 1 n  =  ∞ ; (szereg jest rozbie˙zny do granicy niewła´sciwej  ∞ ; dokładna definicja ci ˛ agu rozbie˙znego do  ∞ : [Kur08, str. 31]); • ∞ n =1( − 1) n  =  ∞  nie jest zbie˙zny do ˙zadnej granicy (sko´nczonej lub niesko´nczonej; jest rozbie˙zny). Przykłady — c.d. Jeste´smy zainteresowani obliczeniem sumy ∞ n =1 1 n 2 . (1) Ci ˛ ag sum cz˛e´sciowych jest ograniczony, poniewa˙z ∞ n =1 1 n ( n +1) = 1. Prawdziwe jest nast˛epuj ˛ ace twierdzenie: Twierdzenie 1. Ci ˛ ag niemalej ˛ acy i ograniczony z góry jest zbie˙zny. St ˛ ad suma (1) jest zbie˙zna do pewnej granicy  g . Łatwo pokaza´c, ˙ze  g 

(…)

… przybliza liczb˛ e z ˛ dem mniejszym niz 10−4 (poniewaz 7! · 7 = 35280).
˛
e
e
0 < e − sn <
Logarytm naturalny i funkcja eksponencjalna
Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln; ln x = loge x. Funkcj˛
e
x
wykładnicza przy podstawie e nazywamy funkcja eksponencjalna i oznaczamy exp; exp x = e .
˛
˛
˛
Funkcja eksponencjalna jako suma szeregu pot˛ gowego
e
Dla dowolnego x ∈ R

xn
x2
x
e =
=1+x+
+ ...
2
n=0 n!
(4)
˙
Dowód mozna znale´ c np. w [Kur08, str. 142].

˙
Wniosek W otoczeniu (− , ), gdzie jest odpowiednio „mała” liczba dodatnia, wykres funkcji y = ex moze
˛
˛
˛
˙
by´ przyblizony („sensownie”) przez wykres funkcji y = 1 + x. W szczególno´ci, wykres funkcji y = ex
c
s
x
przecina o´ OY pod katem 45 stopni; funkcja wykładnicza dla y = a , gdzie a = e, nie posiada tej własno´ci.
s
˛
s
˙
Uwaga Równo´c (4) moze by´ wykorzystana do zdefiniowania funkcji wykładniczej dla argumentu postaci

c √
˛
˛
z = a + bi, gdzie a, b ∈ R, a i = −1 jest „jednostka urojona”.
Szereg harmoniczny
˙
˙
˙
˙
˙
Definicja 1. Mówimy, ze ciag (an ) jest zbiezny do ∞, jezeli dla kazdej liczby r istnieje takie n0 , ze dla n > n0
˛
jest an > r.
˙
Mozna pokaza´ , ze ciag sum cz˛ sciowych…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz