§3. Ciągi liczbowe
1. Wykazać, że ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest ograniczony z góry (z dołu).
1
a) an = 1 + n ,
e) an =
1
b) an = 1 − n ,
f ) an =
√
√
n+2−
n−
√
√
n,
i) an =
n + 2,
j) an =
n
3n ,
√
4n2 + 3 − 2n,
c) an =
1
,
n2
g) an = ln n − ln(n + 2),
k) an =
2n+1
3n+5 ,
d) an =
1
2
h) an = ln(n + 2) − ln n,
l) an =
n+5
.
n2 +2
(−1)n + 1 ,
2. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
√
a) an =
2n+3
3n+5 ,
1
e) an = 1 − n ,
b) an =
n+1
,
n2 +1
f ) an =
n2 +1
,
n2
j) an =
c) an =
3n2 +5n+3
,
n2 +1
g) an =
4n+6
n+1 ,
k) an = ln n,
d) an =
4n2 +1
,
3n2 +2
h) an = n2 − n,
i) an =
l) an =
n,
√
3
n,
n
3n .
3. Obliczyć granicę ciągu:
3·22n+3 −1
n+1 +3 ,
n→∞ 5·4
n+3
,
2
n→∞ 2n −1
q) lim
n2 +2n
,
n→∞ 2n−1
r) lim (2n − 3n + 5n ),
a) lim (n3 − 3n2 + 2n − 5),
i) lim
b) lim (n2 − 5n3 + 1),
j) lim
n→∞
n→∞
3n−5
,
n→∞ 1−n
c) lim
d) lim
n→∞
k) lim
n→∞
n2 −2n+5
,
n2 +3
n5 −n2 +3
1−n2
n→∞
s) lim (3n − 7n ),
,
n→∞
(n+1)(2n+3)
,
n→∞ (3n−2)(n+5)
t) lim (− 1 )n ,
5
n3 +3n2 −5n+7
,
n→∞ (n+1)(n+2)(n+3)
u) lim
3n −2
,
n
n→∞ 3 +2
v) lim
l) lim
100n
,
2
n→∞ n +3
e) lim
n→∞
m) lim
n3 +n2 −1
,
2
n→∞ n −1
n) lim
6n3 −n2 +3
,
2
n→∞ 1−2n
o) lim
f ) lim
h) lim
n→∞
2n −1
,
n
n→∞ 3 +1
32n+1 −7
,
n
n→∞ 9 +4
g) lim
2−5n−10n2
3n+15 ,
p) lim
n→∞
2n −1
,
n
n→∞ 2 +1
4·3n+1 +2·4n
n
n+2 ,
n→∞ 5·2 +4
w) lim
5·52n−1 −5
25n −25 ,
2n +3n
n+1 +3n+1 ,
n→∞ 2
x) lim
4. Obliczyć granicę ciągu:
√
a) lim
n→∞
b) lim
n→∞
n2 −1
n+1 ,
√
3
n3 +2n−1
n+2
c) lim
n→∞
,
√
3
n2 +n
n−2 ,
√
d) lim ( n + 4 −
n→∞
e) lim (n −
n→∞
√
n),
√
n2 + n),
√
f ) lim (2n− 4n2 + 6n − 5),
n→∞
10
√
√
g) lim ( n2 − 1 − n2 − 2),
n→∞
√
h) lim ( n2 + 2n − n),
n→∞
√
√
k) lim ( n4 + n− n4 − n),
n→∞
l)
√
2
lim √n2 +5−n ,
n→∞ n +2−n
√
n2 +2n−n
lim 2n−√4n2 +3n ,
n→∞
√
i) lim ( 4n2 − 17 − 2n),
m)
√
j) lim ( 4n2 + n − 2n),
n) lim
n→∞
n→∞
√
n→∞
4 √
,
n2 +2n+7− n2 +1
√
o) lim ( 3 n3 + 12 − n),
n→∞
√
p) lim ( 3 n3 + n2 − n),
n→∞
q) lim
n→∞
√ √
√
n( n + 1 − n),
√
r) lim
n→∞
n2 +2n+1
.
n+1
5. Obliczyć granicę ciągu:
(−1)n
,
n→∞ n
n2
3n ,
n→∞
e) lim
n!
n,
n→∞ n
f ) lim
(−1)n +2n
3n+1 .
e) an =
(−1)n ·n
n+1 ,
n
n,
n→∞ 2
c) lim
2n
,
n→∞ n!
d) lim
a) lim
b) lim
n→∞
6. Wykazać, że poniższe ciągi nie posiadają granicy:
c) an = (−1)n · n,
a) an = (−1)n ,
b) an = (−1)
n(n+1)
2
,
n
n ·n
d) an = n(−1) ,
1
f ) an = (1 + n )(−1)
.
7. Wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach obliczyć granicę ciągu:
a) lim
√
n
n→∞
b) lim
√
n
n→∞
c) lim
n→∞
2n + 3 n + 7 n ,
d) lim
n
n→∞
2 · 3n + 4 · 7n ,
e) lim
√
n
n→∞
n
3
( 1 )n + ( 4 )n ,
3
f ) lim
n→∞
√
n
(−1)n
n
+ 2n,
g) lim
√
n
n→∞
n2 + n,
h) lim
n5 − 2n2 + 3,
i) lim
n→∞
n→∞
√
n
n3 − n − 2,
n2 + 2n + 5,
√
n n
3 + n5 + 1.
8. Wykorzystując definicję liczby e obliczyć granicę ciągu:
a) lim
n→∞
n+1 2n+1
,
n
b) lim 1 −
n→∞
c) lim
n→∞
1 n
n ,
3n−1 n+4
,
3n+1
d) lim
n→∞
2
n2 +3 2n +5
,
2 +1
n
e) lim 1 +
n→∞
f ) lim
n→∞
1 n
,
n2
n−1 2n
,
n+3
g) lim
n+4 5−2n
,
n+3
h) lim
2
n2 +2 2n +1
,
n2
n→∞
n→∞
i) lim
n→∞
n2 +3n+2 3n+1
.
n2 +2n
11
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)