I . Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej A: Definicje 1. Definicja funkcji Przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X 1pkt. ze zbioru Y 2. Definicja funkcji parzystej ݕ ൌ ݂ሺݔሻ jest funkcją parzystą jeżeli ݂ሺݔሻ ൌ ݂ሺെݔሻ funkcja parzysta jest symetryczna względem osi OY 3...
3. FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 3.1 ZBIORY NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI Def. 3.1.1 (płaszczyzna, przestrzeń) Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych ( x , y ), gdzie x , y R . Przestrzeń dwuwymiarową oznaczamy przez R 2 : . Podobnie,
Dane są wierzchołki trójkąta . Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B na bok AC . Odp. Dany jest czworościan o wierzchołkach . Obliczyć jego objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D . Odp. Obliczyć objętość równoległościanu wyznaczonego przez punkty . Odp. 4Spr...
Ćwiczenia nr 8 Sem. II 11.05.2009 Funkcje dwóch i trzech zmiennych, pochodne cząstkowe Wyznacz i narysuj dziedzinę funkcji: a). b). c). d). e). f). Oblicz pochodne cząstkowe 1-go rzędu następujących funkcji: a). b). c). d). e). f). Udowodnij, że: a). jeżeli b). jeżeli Oblicz wszystkie pochodne...
Ćwiczenia nr 3 Sem. II 16 . 0 3.2009 Macierze i wyznaczniki macierzy Oblicz wyznaczniki: b) c) d) Oblicz wyznaczniki: b) c) d) e) Udowodnij równość: Rozwiąż równania wykorzystując operację odwracania macierzy: a) b) c) Rozwiąż równania: b) 2 ...
Ćwiczenia nr 7 Sem. II 27.04.2009 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Dane są punkty . Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora o początku w punkcie A i końcu w punkcie B. Odp. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty i równoległej do wektor...
Ćwiczenia nr 9 Sem. II 18.05.2009 Różniczka zupełna, ekstrema funkcji Wysokość h i promień podstawy r stożka zmierzono z dokładnością do 1 mm. Otrzymano mm oraz mm . Z jaką, w przybliżeniu, dokładnością można obliczyć objętość V stożka. Odp. B...
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ€DU I Wiadomości ogólne. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x,y,y') = 0 (1) W danym równaniu y' występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty, tzn. x, y, mogą występować lecz nie muszą. Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego ...
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE §1 Równania różniczkowe rzędu I §2 Równania różniczkowe rzędu II §3 Równania różniczkowe rzędu III §1 Równania różniczkowe rzędu I 1.WIADOMOŚCI OGÓLNE Równanie postaci f(x, y, y')=0, w którym istotnie występuje pochodna y' szukanej funkcji y(x) nosi nazwę RÓWNANIA RÓŻNICZK...
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DEF 1 . Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci F(x , y , y ' )=0, gdzie y ' oznacza pochodną funkcji y zmiennej x. UWAGA 1 . Zamiast y ' będziemy równie...
