3. FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 3.1 ZBIORY NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI Def. 3.1.1 (płaszczyzna, przestrzeń)
Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych ( x , y ), gdzie x , y R . Przestrzeń dwuwymiarową oznaczamy przez R 2 :
.
Podobnie, przestrzenią trójwymiarową (przestrzenią) nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych ( x , y , z ), gdzie x , y , z R . Przestrzeń trójwymiarową oznaczamy przez R 3 :
.
Elementy ( x , y ) oraz ( x , y , z ) tych przestrzeni nazywamy odpowiednio punktami płaszczyzny lub przestrzeni. Liczby x , y oraz x , y , z nazywamy odpowiednio współrzędnymi kartezjańskimi punktów ( x , y ) oraz ( x , y , z ).
Def. 3.1.2 (odległość punktów)
Odległość punktów P 1 , P 2 płaszczyzny lub przestrzeni oznaczamy symbolem | P 1 P 2 | i określamy wzorem:
,
gdzie P 1 = ( x 1 , y 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 ) R 2 lub wzorem
,
gdzie P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) R 3 .
Rys. 3.1.1 Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie
Rys. 3.1.2 Odległość dwóch punktów w przestrzeni
Def. 3.1.3 (otoczenie punktu)
Otoczeniem o promieniu r 0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub przestrzeni nazywamy zbiór:
.
Otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte o środku w danym punkcie. Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o środku w danym punkcie.
Def. 3.1.4 (sąsiedztwo punktu)
Sąsiedztwem o promieniu r 0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub przestrzeni nazywamy zbiór:
.
Sąsiedztwem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte bez środka. Podobnie, sąsiedztwem punktu w przestrzeni jest kula otwarta bez środka.
Rys. 3.1.3 Otoczenie o promieniu r punktu P 0 na płaszczyźnie
Rys. 3.1.4 Sąsiedztwo o promieniu r punktu P 0 na płaszczyźnie
Def. 3.1.5 (zbiór ograniczony i nieograniczony)
Zbiór A jest ograniczony, jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu, tzn.
.
W przeciwnym przypadku mówimy, że zbiór A jest nieograniczony.
Rys. 3.1.5 Zbiór A jest ograniczony na płaszczyźnie
Def. 3.1.6 (punkt wewnętrzny zbioru, wnętrze zbioru)
Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Punkt P jest punktem wewnętrznym zbioru A , jeżeli istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze A , tzn.
.
Wnętrzem zbiór nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych.
(…)
… xOy.
Rys. 3.2.4 Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Rys. 3.2.5 Odbicie wykresu funkcji względem płaszczyzny xOy
Def. 3.2.7 (funkcja ograniczona)
Funkcja f dwóch zmiennych jest ograniczona na zbiorze , jeżeli zbiór wartości funkcji f na zbiorze A jest ograniczony, tzn.
.
Uwaga. Definicja funkcji ograniczonej trzech zmiennych jest analogiczna. Definicje funkcji dwóch i trzech zmiennych ograniczonych z dołu lub z góry są podobne do odpowiednich definicji dla funkcji jednej zmiennej.
3.3 GRANICE FUNKCJI W PUNKCIE
Def. 3.3.1 (ciąg na płaszczyźnie)
Ciągiem punktów na płaszczyźnie nazywamy odwzorowanie zbioru liczb naturalnych w zbiór R2. Wartość tego odwzorowania dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez . Ciąg taki oznaczamy przez lub . Zbiór wyrazów tego ciągu, tj. zbiór…
… działania z takimi symbolami są oznaczone. Do znajdowania granic funkcji dwóch i trzech zmiennych można stosować twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach, analogiczne do takich twierdzeń dla funkcji jednej zmiennej.
3.4 FUNKCJE CIĄGŁE
Def. 3.4.1 (funkcja dwóch zmiennych ciągła w punkcie)
Niech funkcja f będzie określona na zbiorze otwartym zawierającym punkt (x0, y0). Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0…
… powyżej.
Def. 3.3.3 (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)
Niech f dwóch zmiennych będzie określona na zbiorze otwartym D z wyjątkiem być może punktu (x0, y0)D. Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie (x0,y0), co zapisujemy ,
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Uwaga. W podobny sposób można określić granicę funkcji w punkcie dowolnego zbioru na płaszczyźnie oraz granicę funkcji trzech zmiennych…
… lub przestrzeni. Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych punktów płaszczyzny (przestrzeni), dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Def. 3.2.4 (wykres i poziomica funkcji dwóch zmiennych)
Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór:
.
Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi hR…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)