Probabilistyka-opracowanie

Probabilistyka: Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych;
ω - element - zdarzenie elementarne.
Klasa zbiorów probabilizowalnych dla których określone jest prawdopodobieństwo .
Def. Klasa B zbiorów Borelowskich: Klasę wszystkich zbiorów, które można otrzymać z przedziałów otwartych za pomocą skończonej lub przeliczalnej liczby operacji sumy i iloczynu. W szczególności (a,b); ; (-∞,b); (-∞,b; (a,+∞);

(…)

…); (-∞,b>; (a,+∞); <a,+∞), wszystkie zbiory przeliczalne jednopunkt., otwarte, domknięte, cała prosta, zbiór ∅.
Prwdopodobieństwo:
Aksjomat 1. Dla każdego zdarzenia A∈M zachodzi: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Aksjomat 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1 ⇒ P(Ω)=1
Aksjomat 3. Prawdopodobieństwo sumy przeliczalnej ilości parami rozłącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:
A1 , A2 ,… ∈ M przy czym Ai ∩ Aj = ∅; i≠j
P(A1∪A2∪A3…)= P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+…
Przestrzeń probabilistyczna:
Trójkę (Ω,M,P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Zmienna losowa:
Niech (Ω,M,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową X nazywamy każdą funkcję o wartościach rzeczywistych określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, mającą tę własność, że dla każdego zbioru borelowskiego A z prostej R (osi rzeczywistej) X-1(A)∈M, gdzie:
X-1(A)={ω:X(ω)∈A}
X:Ω→R - zmienna losowa.
Rozkładem zmiennej losowej:
Niech (Ω,M,P) będzie przestrzenią probabilistyczną, a X - zmienną losową określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy rozkład Px określony na klasie B zbiorów borelowskich prostej R następującym wzorem:
Px(A)=P{X-1(A)}=P({ω:X(ω)∈A})
Dystrybuanta:
Dystrybuantą zmiennej…
… losowej (X,Y), to mówimy, że zmienna ta jest typu ciągłego.
Tw. Prawo wielkich liczb Bernoulliego:
Niech Yn , n=1,2,3… będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:
, k=0,1,2,…,n; 0<q<1; p+q =1
Wówczas ciąg zmiennych losowych jest zbieżny wg prawdopodobieństwa do liczby p. tzn.
Tw. Moivre'a - Laplace'a:
Niech Yn , n=1,2,3… będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie…
... zobacz całą notatkę