Równania Różniczkowe zwyczajne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DEF 1 . Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci F(x , y , y ' )=0,
gdzie y ' oznacza pochodną funkcji y zmiennej x. UWAGA 1 . Zamiast y ' będziemy również pisać . DEF 2 . Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego jest każda funkcja klasy C 1 postaci y=(x), która spełnia to równanie tzn.: F(x , (x) ,  ' (x ) )=0. DEF 3 . Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego jest funkcja postaci (x , C), gdzie CR. Przy ustalonym C rozwiązanie ogólne staje się rozwiązaniem szczególnym. UWAGA 2 . Dane równanie różniczkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych. PRZYKŁAD 1 .Spróbujmy rozwiązać równanie postaci y ' = y. Rozwiązaniem tego równania może być funkcja , ponieważ tylko ta funkcja i jej pochodna są równe. Jest to rozwiązanie szczególne bowiem rozwiązanie ogólne jest postaci . Istotnie dla dowolnej liczby rzeczywistej C. Rozwiązanie szczególne powstaje, gdy w rozwiązaniu ogólnym podstawić za C konkretną liczbę np.: C=1. PRZYKŁAD 2 . Rozwiąż równanie
y ' = 2y
y = e 2x (e 2x ) ' = 2e 2x .
y = e 2x - rozwiązanie szczególne
y = C e 2x - rozwiązanie ogólne RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH DEF 4. Równaniem różniczkowym zwyczajnym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci ,
gdzie p i q oznaczają funkcje ciągłe jednej zmiennej. PRZYKŁAD 3 . Rozwiążemy równanie postaci y 2 = x. W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania przez dx co daje nam y 2 dy= x dx .
Całkujemy obustronnie  y 2 dy=  x dx . i otrzymujemy y 3 = x 2 +C
skąd y 3 = x 2 +3 C -rozwiązanie ogólne. PRZYKŁAD 4 . Rozwiążmy równanie .
Mamy .
Dzielimy najpierw przez (1+x 2 ) a następnie przez ( oraz mnożymy przez dx i otrzymujemy . Całkujemy obustronnie skąd , więc rozwiązaniem ogólnym jest PRZYKŁAD 5. Rozwiążemy równanie postaci 2x 2 = y.
W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania najpierw przez 2x 2 , x  0 co daje nam ,
a następnie przez y przy założeniu, że y  0 i otrzymujemy postać .
Teraz mnożymy obie strony przez element dx i dostajemy . Całkujemy obustronnie i otrzymujemy ln|y| = - +C
skąd .
Funkcja stała y = 0 jest także rozwiązaniem tego równania , bo RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y ' = f(ax + by +c)

(…)

…
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
DEF 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci F(x , y , y' )=0,
gdzie y' oznacza pochodną funkcji y zmiennej x. UWAGA 1. Zamiast y' będziemy również pisać .
DEF 2. Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego jest każda funkcja klasy C1 postaci y=(x), która spełnia to równanie tzn.: F(x , (x) , ' (x ) )=0.
DEF 3…
... zobacz całą notatkę