Równania różniczkowe
Def. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie z niewiadomą funkcją y = y (x) zmiennej x. Liczbę n nazywamy rzędem równania, jeżeli w równaniu występuje pochodna n- tego rzędu a nie występują pochodne wyższych rzędów niż n Def. Całką szczególną (rozwiązaniem szczególnym) równania różniczkowego w zbiorze X nazywamy każdą funkcję y = y (x), która spełnia to równanie dla każdego .
Wykres rozwiązania szczególnego nazywamy krzywą całkową.
Def. Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n nazywamy następujące zadanie:
Znaleźć rodzinę wszystkich rozwiązań zależną od parametrów, które można tak dobrać, żeby uzyskać całkę szczególną spełniającą tzw. warunki początkowe Gdzie x0, y0, y1, ..., yn-1 zwane wartościami początkowymi są dane
Def. Całką ogólną równania różniczkowego nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań zależną od n parametrów tak dobranych, aby dla każdego układu wartości początkowych x0, y0, y1, ..., yn-1 uzyskać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe.
Uwaga: Całka ogólna może, ale nie musi zawierać wszystkich rozwiązań.
Tw. (o istnieniu i jednoznaczności równania) Jeżeli prawa strona równania (1) y'= f (x, y) jest funkcją ciągłą w obszarze D i ma ciągłą pochodną w D, to przez każdy punkt wewnętrzny obszaru D przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.
Def. Niech g będzie funkcją określoną i ciągłą w (a, b), zaś funkcja h będzie określona i ciągła w (c, d) i Równanie nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Równanie (2) zapisujemy h (y) dy = g (x) dx
Niech y1 = y1 (x) będzie rozwiązaniem Zbiór wszystkich rozwiązań Def. Niech g będzie funkcją ciągłą w Równanie nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.
Przez podstawienie sprowadzamy równanie jednorodne do równania o zmiennych rozdzielonych.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)