Matematyka - Równania różniczkowe

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 560
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - Równania różniczkowe - strona 1 Matematyka - Równania różniczkowe - strona 2

Fragment notatki:

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Def.: Równaniem, w którym występują pochodne (przynajmniej jedna) funkcji niewiadomej y nazywamy  równaniem różniczkowym (RR). Def.: Rzędem RR nazywamy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej. x y y − = ′   – RR I rzędu 0 2 3 = − ′ + ′ y y y   – RR II rzędu IV y y x = ′ 2   – RR IV rzędu 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂   – RR cząstkowe Jeżeli funkcja niewiadoma występująca w równaniu jest tylko funkcją jednej zmiennej, to RR  nazywamy równaniem zwyczajnym. RR, w którym występują pochodne cząstkowe nazywamy RR  cząstkowym.  Dalszy opis dotyczy równań zwyczajnych. Ogólna postać: 0 ) ,..., , , ( = ′ n y y y x F gdzie niewiadomą jest  y Def.: Rozwiązaniem lub całką RR (1) w zbiorze X nazywamy  każdą funkcję   y  mającą pochodne do  rzędu n włącznie, która wstawiona w miejsce   y  do równania (1) spełnia równanie w każdym punkcie tego  zbioru tzn.: 0 ) ( ),..., ( ), ( , ( = ′ x y x y x y x F n Rozwiązanie RR (1) w interpretacji geometrycznej przedstawia krzywą zwaną krzywą całkową.  Proces znajdowania nazywamy rozwiązaniem lub całkowaniem tego równania. Równania różniczkowe zwyczajne – wiadomości wstępne Przykład: Wyznaczyć funkcję tak aby  C x y + = ′ 3 2 Rozwiązanie: ∫ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = C x y dx x y dx x dx x dx dy 3 2 2 2 2 6 6 6 I rzędu )] ( , [ ) ( x y x f x y = ′  tutaj  dx dy y = ′ Zadanie: Wyznaczyć rozwiązanie   y   równania  x y 2 = ′ , które przechodzi przez punkt A (0,1). Rozwiązanie: C x y xdx dy xdx dy dx x dx dy + = = = ⋅ = ∫ ∫ 2 2 2 / 2 wyznaczamy stałą C wstawiając do otrzymanego równania wartości punktu A 1 0 1 = ⇒ + = C C wynik końcowy: 1 2 + =  x y      – funkcję   y  nazywamy rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną równania  różniczkowego. Zadanie można sformułować tak:  1 ) 0 ( , 2 = = ′ y x y Równanie różniczkowe + warunek początkowy to zagadnienie Couchy’ego tzn.  0 0 ) ( )], ( , [ ) ( y x y x y x f x y = = ′  Rozwiązaniem tego zagadnienia Couchy’ego nazywa się rozwiązaniem  szczególnym lub całką szczególną. Rozwiązanie, które zawiera stałą nazywamy rozwiązaniem ogólnym. Document Outline RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz