Tadeusz Świrszcz, Matematyka, rok ak. 06/07, sem. 2
1
1. Równania różniczkowe rzędu 1
1.1. Równania, w których niewiadomymi są funkcje jednej lub kilku zmiennych, i które za-
wierają także pochodne niewiadomych, nazywają się równaniami różniczkowymi. Jeśli
niewiadomymi są funkcje wielu zmiennych, równania nazywają sie równaniami różniczkowymi cząstkowymi, a jeśli niewiadomymi są funkcje jednej zmiennej, równania nazywają
się równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. Będziemy się zajmowali równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.
1.2. Rzędem równania różniczkowego nazywamjy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewia-
domej występującej w tym równaniu. Na początku będziemy się zajmowali równaniami
różniczkowymi rzędu 1. Takie równanie może być przedstawione w postaci
F (x, y, y ) = 0.
(1)
W równaniu tym x jest zmieną niezależną, y szukaną funkcją, y = dy/dx jej pochodną,
a F jest daną funkcją trzech zmiennych. Zakładamy, że funkcja F jest określona w pewnym
podzbiorze otwartym U przestrzeni R3 .
1.3. DEFINICJA. Funkcja h = ϕ(x) określona w pewnym przedziale otwartym (a, b) (przy
czym może być a = −∞, b = +∞), nazywa się rozwiązaniem równania (1) jeśli
1o ϕ (x) istnieje i (x, ϕ(x), ϕ (x)) ∈ U dla każdego x ∈ (a, b),
2o F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0 for all x ∈ (a, b).
Czasami równanie (1) daje się przedstawić w postaci
y = f (x, y),
(2)
gdzie f jest funkcją określoną w pewnym podzbiorze otwartym U przestrzeni R2 . Równanie w postaci (2) nazywamy równaniem rozwiązanym względem pochodnej. Nietrudno
zauważyć, że funkcja y = ϕ(x), określona w pewnym przedziale otwartym (a, b), jest
rozwiązaniem równania (2) wtedy i tylko wtedy, gdy
1o (x, ϕ(x)) ∈ U dla każdego x ∈ (a, b),
2o ϕ (x) istnieje i ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) dla każdego x ∈ (a, b).
Zbiór wszystkich rozwiązań równania różniczkowego nazywamy rozwiązaniem ogólnym
tego równania.
1.4. TWIERDZENIE (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań). Niech f będzie funkcją o warto-
ściach rzeczywistych określoną w pewnym zbiorze otwartym U ⊂ R2 . Jeśli funkcja f i jej
pochodna cząstkowa ∂f /∂x są ciągłe w U , wtedy dla każdego punktu (x0 , y0 ) zbioru U
istnieje rozwiązanie y = ϕ(x) równania
y = f (x, y)
(2)
określone w pewnym otoczeniu O(x0 , δ) punktu x0 spełniające warunek
ϕ(x0 ) = y0 .
(3)
Jeśli y = ψ(x) jest także rozwiązaniem równania (2) określonym w pewnym otoczeniu
otwartym O(x0 , r) punktu x0 takim, że
ψ(x0 ) = y0 ,
to ψ(x) = ϕ(x) dla x ∈ O(x0 , δ) ∩ O(x0 , r).
Tadeusz Świrszcz, Matematyka, rok ak. 06/07, sem. 2
2
1.5. Punkt (x0 , y0 ) nazywa się warunkiem początkowym. Mówimy, że rozwiązanie y = ϕ(x)
spełnia warunek początkowy (x0 , y0 ), jeśli zachodzi równość (3).
1.6. Równanie o zmiennych rozdzielonych jest to równanie postaci:
y = g(x)h(y).
Jeśli g(x) jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale (a, b) oraz h(y) i h (y) są funkcjami
ciągłymi w pewnym przedziale (c, d), to funkcja f (x, y) = g(x)h(y) spełnia założenia
twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań w zbiorze U = (a, b) × (c, d). Dla
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)