To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ€DU I Wiadomości ogólne. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
F(x,y,y') = 0 (1)
W danym równaniu y' występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty, tzn. x, y, mogą występować lecz nie muszą. Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję różniczkowalną
y = φ (x) która spełnia dane równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału, całkę taką nazywamy szczególną. Linią (krzywą) całkową równania różniczkowego (1) nazywamy wykres każdej funkcji , która jest rozwiązaniem (całką) tego równania. Najczęściej takie równanie występuje w postaci pochodnej
y' = f(x, y) (2) Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowanego (2) nazywamy każdą taką funkcję postaci
y = ψ (x; C) (3)
która spełnia równanie (2), przy czym stała C wynika z całkowania tego równania.
Przykład: Dla równania różniczkowego
y' = 2y rozwiązaniem (całką) ogólnym jest
y = Ce 2x gdzie C jest dowolna liczbą rzeczywistą. Nadając parametrami C np. wartości (-3, 0, 1, 5), otrzymujemy rozwiązania (całki) szczególnie
y = -3e 2x , y = 0 , y = e 2x , y = 5e 2x W wielu zagadnieniach (szczególnie fizycznych i technicznych) często występuje potrzeba wyznaczenia rozwiązania szczególnego, spełniającego tzw. Warunki początkowe. Polegają one na wyznaczeniu spośród linii całkowych danego równania różniczkowego takiej linii, która przechodzi przez z góry dany punkt (x 0 , y 0 ,). Zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia wartości C 0 parametru C z równania
y = ψ (x 0 ; C 0 ) Po podstawieniu otrzymanej wartości C 0 do rozwiązania ogólnego (3) otrzymamy równanie szczególne
y = ψ (x ; C 0 ) = φ(x) Rozdzielanie zmiennych Równaniem różniczkowym o rozdzielnych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe Zwyczajne rzędu pierwszego postaci; d y *p (y) ― = q (x) d x
(…)
… jednorodne postaci y' = f ( ) Przykład 1
Przykład 2
równanie jednorodne:
równanie o zmiennych rozdzielonych
Przykład 3
5. Równanie różniczkowe liniowe.
(1) równanie liniowe niejednorodne
(2) równanie liniowe jednorodne równanie o zmiennych rozdzielonych
(3) całka równania jednorodnego
Całkę równanie liniowego niejednorodnego poszukujemy metodą uzmienniania stałej:
(4) tzn. C(x) należy tak dobrać, by funkcja (2) spełniała równanie (1).
Przykład 1
równanie liniowe niejednorodne
równanie liniowe jednorodne
równanie o zmiennych rozdzielonych
całka ogólna równania liniowego jednorodnego.
Aby znaleźć całkę ogólną R3 równania jednorodnego stosujemy metodę uzmienniania stałej tzn. C zastępujemy funkcją C(x), by
spełniała równanie wyjściowe.
całka ogólna równania niejednorodnego
Przykład 2
równanie liniowe niejednorodne
równanie liniowe jednorodne
całka ogólna równania liniowego jednorodnego
całka ogólna równania liniowego niejednorodnego
6. Równanie różniczkowe Bernoulliego
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie w postaci:
dy
― + p(x) y + q(x) yn = 0
dx
gdzie funkcje p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnym przedziale
a<x<b, a n jest dowolna liczbą rzeczywistą.
Dla n=0 otrzymujemy…
… + y2 sinx =0
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego przy n=2. Jedną z całek równania y' + y + y2 sinx =0, jest , wobec n=2, całka y=0. Przy poszukiwaniu innych całek tego równania zakładamy,
że y≠0.
Dzielimy obie strony równania y'+ y + y2 sinx =0 przez y2:
y' 1
― + ― + sinx = 0
y2 y
Zgodnie ze wzorem y1-n =z, podstawiamy, y -1= z, skąd
1 dy dz
- ― · ― = ―
y2 dx dx
y' 1
Równanie ― + ― + sinx = 0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)