• I warunek Niech f ∈ C 2 ((a, b)) , f ′′ (x0 ) = 0 oraz f ′′ zmienia znak przy przejściu przez punkt x0 . • II warunek Niech f ∈ C 3 ((a, b)) , f ′′ (x0 ) = 0 oraz f ′′′ (x0 ) = 0 . Przykład 4.31 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji : a...
4.8 Badanie funkcji • Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana. • Wskazanie podstawowych własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość. • Obliczenie
5.1 Całkowanie przez podstawienie Przykład 5.3 Znaleźć całkę: ln2 x dx x Podstawiając nową zmienną u = ln x możemy zadanie rozwiązać w następujący sposób: du = ln2 x dx = x dx =⇒ x u2 du = u3 ln3 x +C = +C ...
4. Przy dodatkowym założeniu , że (∀x ∈ A , g(x) = 0) oraz lim g(x) = 0 istnieje x→x0 granica ilorazu tych funkcji i równa się ilorazowi granic lim x→x0 lim f (x) f (x) x→x0 = g(x) lim g(x) x→x0 Uwaga 3.5 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych funkcji w pun...
2 Ciągi liczbowe Definicja 2.1 (Ciągi liczbowe) Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb (rzeczywistych, zespolonych), czyli f :...
Przykład 4.22 Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de l’Hospitala? a) lim x→∞ x + cos2x x − cosx 1 x2 sin x x→0 sinx b) lim Inne typy nieoznaczoność: 0 · ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞ Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu f (x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to mówim...
Twierdzenie 6.8 (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie na pewnym otoczeniu O(P0 ), P0 = (x0 , y0 ), to dla dowolnego punktu P (x, y) ∈ O(P0 ) istnieje taka liczba Θ ∈ (0, 1), że f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) + 1 2 d f (x0 + Θ∆x, y0...
4.8 Badanie funkcji • Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana. • Wskazanie podstawowych własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość. • Obliczenie
3 3.1 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej Pojęcie funkcji Niech X , Y będą dwoma dowolnymi niepustymi zbiorami. Definicja 3.1 (Funkcji) Funkcją ( odwzorowaniem ) f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elemen...
Funkcja podcałkowa jest określona na przedziale . Podstawmy x = sin t , gdzie t ∈ . Wtedy dx = cos t dt i t = arc sin x 2 2 1 − x2 dx = 1 sin t cos t 1 + cos 2t dt = t + +C = 2 2 2 cos2 t dt = | cos t| cos t dt = √ 1 x 1 − x2 arcsinx − +C 2 2 Przykład 5.6 Podstawiając x = t3 o...
