Badanie funkcji - omówienie - Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

4.8
Badanie funkcji
• Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana.
• Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.
• Obliczenie granice funkcji na ”krańcach” dziedziny.
• Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
• Badanie pierwszej pochodnej funkcji:
1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie
2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema
3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji
4. znalezienie ekstremów
• Badanie drugiej pochodnej, określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu
funkcji orazwyznaczenie punków przegięcia
• Sporządzenie tabelki
• Sporządzenie wykresu funkcji
Przykład 4.34 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
f (x) = x2 e−x ,
5
g(x) = x + 2arcctgx
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
Niech A będzie pewnym przedziałem w R . Rozpatrujemy funkcje f : A → R .
Definicja 5.1 (funkcja pierwotna)
F ∈ D1 (A) jest funkcją pierwotną funkcji f jeśli (∀x ∈ A) F ′ (x) = f (x)
Wniosek 5.1 Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to ( ∀C ∈ R)
jest funkcją pierwotną funkcji f
Wniosek 5.2 Dwie różne funkcje pierwotne F
całym przedziale o stałą.
Dowód:
G = F + C też
i G tej samej funkcji f różnią się w
(∀x ∈ A) f (x) = F ′ (x) = G′ (x) ⇐⇒ (∃C ∈ R) (∀x ∈ A) (F (x) − G(x) = C)
Definicja 5.2 (calka nioznaczona)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
f i oznaczamy
f (x) dx
32
... zobacz całą notatkę