Funkcja pierwotna, całki - omówienie

Funkcja pierwotna:
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale P. Mówimy, że funkcja F: P→R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, gdy F jest funkcją różniczkowalną i: F'(x) = f(x) dla x P.
Niech F : P→R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas funkcja F1 : P→R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy F − F1 jest funkcją stałą w P.
Całka Nieoznaczona:
Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P→→R. Jeśli funkcja f ma funkcję
pierwotną w przedziale P, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P i oznaczamy: ∫fdx lub ∫f(x)dx Jeżli funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale P, to mówimy, że funkcja ta nie ma całki nieoznaczonej w tym przedziale.
Definicja o całkowaniu przez podstawienie:
Niech P oraz R będą przedziałami. Jeżeli:
1. funkcja ω : R→P jest różniczkowalna w przedziale R,
2. funkcja F : P→R jest funkcją pierwotną funkcji f : P→R, tzn:
∫f(t)dt = F(t) + C
to funkcja Fo ω jest funkcją pierwotną funkcji fo ω · ω', tzn:
∫(ω(x))ω'(x)dx = F(w(x))+C
Twierdzenie o całkowaniu przez części:
Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą
funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P. Jeśli funkcja f · g' ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f' · g ma w przedziale P całkę nieoznaczoną oraz:
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x)dx
... zobacz całą notatkę