To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Def.granicy ciągu. Punkt a∈A nazyw.granicą ciągu (a ) [co zapis. lim a =a lub a →a ], jeśli dow.otocz.U(a) punktu a zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (a ).Lim a =a ⇔∀ε0 ∃ δ0 ∀nδ d(a ,a)0 ∀n∈N d(a ,a)0 ∀n,k∈N d(a ,a)0 ∀n∈N d(a ,a )≤ M
Tw.Bolzano-Weierstrassa. Każdy ciąg ogranicz.posiada co najmniej 1 punkt skup.
Tw.Jeżeli ciąg (a ) i (b ) są zbieżne oraz lim a =a, lim b =b, wtedy zbieżne są takie ciągi (a +b ) , (a -b ) , (a *b ) , (a /b ) ( o ile b ≠0) i zachodzą równości: 1. lim(a +b )=a+b 3. lim(a -b )=a-b
2. lim(a -b )=a-b 4. lim(a /b )=a/b (o ile b≠0)
Tw. o trzech ciągach. Jeśli: 1. ∀n∈N a ≤ b ≤c 2. lim a = lim c =a , to ciąg (b ) ma granicę i lim b =a
Def. Ciąg (a )niemal.jeśli ∀n∈N a ≥a Ciąg (a )nier.jeśl.∀n∈N a ≤a Ciąg (a ) rosn.jeśli ∀n∈N a a Ciąg (a ) mal.jeśli ∀n∈N a ∞-szer.∑a jest rozb.Szer. harm.∑ jest rozb.
Tw.(warunek konieczny zbieżności szeregu).
(∑a 1Jest rozb.gdy α≤1 .
Stwierdzenie: Jeżeli ciągi (a ) i (b ) spełniają warunek lim =K i 0
(…)
… rosnącym. Wykażemy, że (a ) jest ograniczony:
a =(1+ ) =( )*1 ( ) +( )*1 ( ) +...+( )1 ( ) =2+ * + * +...+ * =2+ (1- )+ (1- )(1- )+...+ (1- )... * ≤ 2+ + + ...+ =(n+1)!>2 {dla n≥2}≤2+ + +..+ ≤2+ =3 ⇒tak więc 2<a <3⇒lim(1+ ) =e(≈2,71). Z tw. o 3 ciąg. Wyn.: (1+ ) =e Całka nieoznaczona I =(a,b)⊂ R f: I →R
Def.Każd.funk.rzeczywistą f różnicz.w przedziale I i spełniającą warunek : ∀x∈I : f'(x)=f(x) nazywamy funk.pierwotną funkcji f .
Def.całki nieoznaczonej.Zbiór funkcji pierw. funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną tej funkcji i oznaczamy symbolem ∫f(x)dx
Z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące równości:
1.[∫f(x)dx]'=f(x) 2.∫f'(x)dx=∫df(x)=f(x) + c
Stw.Każda funkcja ciągła jest całkowalna, tzn. f⊂C(I)⇒f∈P(I)
Własn. całki: Jeśli f,g∈P(I) ⇒1. ∫αf(x)dx=α∫f(x)dx ∀α∈R
2.∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx…
… ) . Znak drugiej pochodnej decyduje o kierunku wypukłości funkcji.
Tw.Funkcja f∈C (I) jest w przedziale I:
1.wypukła ku dołowi ⇔(∀x∈I f”(x)≥0) 2.wyp. ku górze ⇔(∀x∈I f”(x)≤0)
Def.Punkt x ∈I dla którego istnieje sąsiedztwo N(x ,δ) takie, że w obu sąsiedztwach jednostronnych funkcja f ma różne kierunki wypukłości nazywamy punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).
Jeżeli f∈C (I) i punkt x ∈I jest punktem przegięcia to f”(x )=0;
Uwaga:Warunk.wyst.,aby punkt x był punk.przegięcia jest ciągłość funkcji f w punkcie x i różne znaki II pochodnej w sąsiedztwach tego punktu.
Tw.Jeż,f⊂C (I) i ∀k=2,3,...,n-1 f (x ) i n-ta pochodna w f (x )≠0 i n jest nieparzyste, to funkcja f ma w punkcie x punkt przegięcia.
Twierdzenie ( o zachowaniu znaku przez funkcję ciągłą…
… są całkowalne w przedziale <a,b> f,g∈R(I) oraz ∀x∈<a,b> m≤f(x)≤M zaś funkcja g ma stały znak w przedziale <a,b> to: ∃μ∈<m,M> Całk.oznaczona Niech f∈C(I) i F-dowolna funk. pierwotna funkcji f
Def.Liczbę rzeczyw. F(b)-F(a):=F(x) nazywamy całką oznaczoną z funkcji f od a do b i oznaczamy symbolem Własności całki ozn.1.Całka ozn.nie zależy od wyboru funk. Pierw.
2.Całka 3. Twierdzenie II główny warunek rachunku…
…,to jest w tym punkcie ciągła.
Ciągłość jest to pojęcie „słabsze” niż różniczkowalność.
Tw.Jeż.funk.g jest różniczk.w otoczeniu punk.x, zaś funk.f jest różniczk. w otoczeniu V punktu g(x), przy czym g(u)⊂V, to funkcja złożona f°g jest różniczk.w otoczeniu u punkt.x i zachodzi równość (f°g)'(x)=f'[g(x)]*g'(x)
Tw.o pochodnej funk.odwrotnej.Jeż.funk.f jest bijekcją różniczk.w otocz. punktu x i f'(x)≠0, to funkcja odwrotna…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)