To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7. CAŁKI NIEOZNACZONE 7.1 FUNKCJE PIERWOTNE Def. 7.1.1 (funkcja pierwotna) Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli
dla każdego x I .
Uwaga . Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną, np. funkcja f ( x ) = sgn x nie ma funkcji pierwotnej na przedziale (-1,1). Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną, np. funkcje pierwotne funkcji: nie są funkcjami elementarnymi.
Tw. 7.1.2 (podstawowe o funkcjach pierwotnych) Niech funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy
funkcja G ( x ) = F ( x ) + C , gdzie C R , jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I ,
każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale I można przedstawić w postaci F ( x ) + D , gdzie D R .
Powyższe twierdzenie mówi o postaci funkcji pierwotnych dla ustalonej funkcji. Funkcje pierwotne mają postać F ( x ) + C i tylko takie są funkcjami pierwotnymi.
Tw. 7.1.3 (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.
7.2 CAŁKI NIEOZNACZONE Def. 7.2.1 (całka nieoznaczona) Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczmy przez lub krótko .
Uwaga . W dalszej części będziemy opuszczali nawiasy klamrowe w definicji całki nieoznaczonej. Działania na całkach nieoznaczonych oznaczają działania na funkcjach pierwotnych reprezentujących te całki. Równość całek nieoznaczonych oznacza równość odpowiednich funkcji pierwotnych reprezentujących te całki.
Fakt 7.2.2 (pochodna całki nieoznaczonej) Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I . Wtedy
dla każdego x I . Uwaga . Powyższą równość należy rozumieć w ten sposób, że po lewej różniczkujemy dowolną funkcję pierwotną reprezentującą całkę nieoznaczoną.
Fakt 7.2.3 (całka nieoznaczona pochodnej) Niech funkcja ma funkcją pierwotną na przedziale I . Wtedy
, C R dla każdego x I .
Fakt 7.2.4 (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych) Funkcja
Całka nieoznaczona
Zakres zmienności
0
C n N {0}, x R
(…)
… jest ciągła na I,
funkcja ma ciągłą pochodną na J,
to
gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f, C R.
Fakt 7.3.5 (ważniejsze całki zawierające funkcje hiperboliczne)
Funkcja podcałkowa
Całka nieoznaczona
Zakres zmienności
7.4 CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Def. 7.4.1 (funkcja wymierna właściwa)
Funkcję wymierną nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)