Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 490
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona - omówienie  - strona 1 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona - omówienie  - strona 2

Fragment notatki:

4.8
Badanie funkcji
• Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana.
• Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.
• Obliczenie granice funkcji na ”krańcach” dziedziny.
• Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
• Badanie pierwszej pochodnej funkcji:
1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie
2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema
3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji
4. znalezienie ekstremów
• Badanie drugiej pochodnej, określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu
funkcji orazwyznaczenie punków przegięcia
• Sporządzenie tabelki
• Sporządzenie wykresu funkcji
Przykład 4.34 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
f (x) = x2 e−x ,
5
g(x) = x + 2arcctgx
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
Niech A będzie pewnym przedziałem w R . Rozpatrujemy funkcje f : A → R .
Definicja 5.1 (funkcja pierwotna)
F ∈ D1 (A) jest funkcją pierwotną funkcji f jeśli (∀x ∈ A) F ′ (x) = f (x)
Wniosek 5.1 Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to ( ∀C ∈ R)
jest funkcją pierwotną funkcji f
Wniosek 5.2 Dwie różne funkcje pierwotne F
całym przedziale o stałą.
Dowód:
G = F + C też
i G tej samej funkcji f różnią się w
(∀x ∈ A) f (x) = F ′ (x) = G′ (x) ⇐⇒ (∃C ∈ R) (∀x ∈ A) (F (x) − G(x) = C)
Definicja 5.2 (calka nioznaczona)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
f i oznaczamy
f (x) dx
32
Wniosek 5.3 Całkowanie nie jest działaniem jednoznacznym.
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f to będziemy oznaczać
f (x) dx = F (x) + C
gdzie C jest dowolną stałą.
Przykład 5.1
f : → R
;
f (x) =
1 ; x 0
−1 ; x .
W dalszej części wykładów wykażemy , że każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.
Wniosek 5.4 Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną na A to
(∀x ∈ A)
d
dx
f (x) dx = f (x)
Wniosek 5.5
f ∈ C 1 (A) =⇒
f ′ (x) dx = f (x) + C
Podstawowe wzory całkowania otrzymujemy z tablic pochodnych.
Na przykład:
xα+1
+ C α = −1
xα dx =
α+1
1
dx = ln |x| + C
x
cos x dx = sin x + C
dx
= arctgx + C
1 + x2
Twierdzenie 5.1
Niech funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale A . Wtedy:
a) ∃
(f (x) + g(x)) dx
b ) (∀k ∈ R) ∃

(f (x) + g(x)) dx =
k f (x) dx

f (x) dx +
k f (x) dx = k
g(x) dx
f (x) dx
Dowód :
ad a) Niech F i G będą funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f i g .
d
Wtedy dx (F (x) + G(x)) = f (x) + g(x) , więc (F + G) jest funkcją pierwotną funkcji
f +g .
ad b) analogicznie
d
d
kf (x) dx =
(k f (x) dx )
dx
dx
Przykład 5.2
(sin x + cos x + 1) dx =
(x + 1)2
1
dx =
3
3x
3
sin x dx +
dx
2
dx +
x
3
cos x dx +
1
1
dx +
2
x
3
33
dx = − cos x + sin x + x + C
1
2
1
1

dx = ln |x| −
+C
3
x
3
3x
6 x2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz