Metody matematyczne w technologii materiałów - ćwiczenia 1

Nasza ocena:

5
Pobrań: 28
Wyświetleń: 784
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metody matematyczne w technologii materiałów - ćwiczenia 1 - strona 1 Metody matematyczne w technologii materiałów - ćwiczenia 1 - strona 2 Metody matematyczne w technologii materiałów - ćwiczenia 1 - strona 3

Fragment notatki:

Metody matematyczne w technologii materiałów  Krzysztof Szyszkiewicz  DEFINICJA .  Niech  : f D     będzie  funkcją  określoną  na  odcinku  . D   Jeżeli  dla  ustalonego  punktu  0 x D   istnieje granica    0 0 0 ( ) ( ) lim , x x f x f x x x      (0.1)  to mówimy, że funkcja   f   jest różniczkowalna w punkcie  0 . x  Granicę tę oznaczamy przez  0 ( ) f x   i  nazywamy pochodną funkcji   f   w punkcie  0 . x  Tak więc z definicji mamy    0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x        (0.2)  Wprowadzając oznaczenie   możemy granicę, która występuje w (0.2) zapisad następująco    0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . h f x h f x f x h        (0.3)  Jeżeli  pochodna  istnieje  w  każdym  punkcie  , x D    to mamy  określoną  funkcję  : , f D     która  każdemu elementowi  dziedziny   x D   przyporządkowuje pochodną  ( ). f x    Funkcję   f     nazywamy  pochodną funkcji  . f   TWIERDZENIE .  Niech  funkcja  , : f g D     będą  różniczkowalne  w  punkcie  . x D    Wtedy  funkcje  , , / f g fg f g   są różniczkowalne w punkcie   x   oraz zachodzą równości  a)  ( ) ( ) ( ) ( ), f g x f x g x         b)  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), fg x f x g x f x g x        c)  2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f f x g x f x g x x g g x              W punkcie c) zakładamy, że  ( ) 0. g x     W wielu przypadkach jednak nie wystarczy posługiwanie się powyższymi równościami do obliczenia  pochodnej. Na przykład dla funkcji  3 sin( 2 ) x x   obliczenie pochodnej – mimo, że potrafimy obliczyd  pochodną  sin cos x x     oraz  3 2 ( 2 ) ' 3 2 x x x      –  w  oparciu  tylko  o  wzory  a),  b)  i  c)  nie  jest  możliwe.  Musimy  jeszcze  posłużyd  się  wzorem  na  pochodną  funkcji  złożonej.  Poniższe  twierdzenie  przedstawia ten wzór.  TWIERDZENIE .  Niech  : , : f D g G    będą funkcjami różniczkowalnymi. Ponadto zakładamy,  że  złożenie   g f    jest  określone,  tj.  ( ) . f D G    Wtedy  funkcja   g f    też  jest  różniczkowalne  i 

(…)


Krzysztof Szyszkiewicz
Częśd 1. Obliczyd podane całki wykorzystując całkowanie przez części.
1)
 x sin xdx.
4)
x
2)
x
6)
e
3)
 x e dx.
8)
e
5)
 ln
10) eax cos bxdx, gdzie a, b  .
7)

9)
x
2
ln xdx.
3 x
2
xdx.
3
sin xdx.
x
sin xdx.
ax
sin bxdx, gdzie a, b  .

k  x 2 dx.
2
sin(5 x)dx.
Częśd 2. Korzystając z metody całkowania przez podstawienie, obliczyd podane całki nieoznaczone.
1)
2)
 xe
 x2…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz