Definicja Niech będą Funkcję h oznaczamy 3.9 (Funkcji złożonej) dane dwie funkcje f : X → Y i g : Y → Z . : X → Z taką, że (∀ x ∈ X) h(x) = g(f (x)) nazywamy funkcją złożoną i h = g◦f. Przykład 3.5 X = Y = Z = R , f (x) = sin x , g(y) = 2y , to h(x) = 2sin x . Definicja 3.10 ( Funkcji odwrot...
6.2 Granica funkcji Niech dane będą: zbiór A ⊂ Rn , funkcja f : A → R i P0 -punkt skupienia zbioru A . Definicja 6.9 (Granicy funkcji w sensie Heinego) Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie P0 , jeżeli (∀ {...
xy x2 +y 2 (x, y) = (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) (0, 0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją: Przykład 6.5 Funkcja f (x, y) = nie jest ciągła w punkcie ∂f f (x, 0) − f (0, 0) 0−0 (0, 0) = lim = lim =0 x→0 x→0 ∂x x x f (0, y) − f (0, 0) 0−0 ∂f (0, 0) = lim = lim =0 ...
6.7 Pochodna kierunkowa funkcji trzech zmiennych Niech dana będzie funkcja f : A → R , A ⊂ R3 , punkt P0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ int A oraz wersor → v = (cos α, cos β, cos γ). Zakładamy, że funkcja f ma ciągłe
4 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 4.1 Pochodna Definicja 4.1 ( Pochodnej) Funkcja f : A → R ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 ∈ intA , jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0 Granicę tę oznaczamy f ′ (x0 ) lub df (x0 ) dx i nazywamy p...
Definicja 6.17 (Pochodne cząstkowe wyższych rzędów) Niech funkcja n zmiennych ma pochodne cząstkowe rzędu m 1 przynajmniej na otoczeniu punktu P0 ∈ intA . Pochodne cząs...
Twierdzenie 6.2 (O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P0 , to w tym punkcie ciągłe są także funkcje: • f + g, f − g • g·f • f g, o ile g(P0 ) = 0 Definicja 6.12 (Funkcji ciągłej na zbiorze) Funkcja jest ciągła na zbiorze A A ⊂ Rn , ...
Przykład 6.12 Obliczyć wartości przybliżone podanych wyrażeń: 1. (1.05)2 + (1.97)2 2. (1.04)3.01 3. arctg 1.001 arcsin 0.49 6.9 Podstawowe twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych wielu zmiennych Ograniczymy się do przypadku funkcji dwóch zmiennych klasy C 2 (A) , A ⊂ R2 . Całe rozumowanie...
7.8 Rozwiązanie równania niejednorodnego Definicja 7.13 (Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach) Równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym nazywamy równanie (Ln ), gdzie a1 , a2 , . ...
• Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji z tego punktu. • Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. 6.8 Różniczka funkcji Rozpatrujemy funkcję n zmien...
