• Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji z tego
punktu.
• Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez
ten punkt.
6.8
Różniczka funkcji
Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A → R określoną na zbiorze A ⊂ Rn oraz punkty
0
0
0
0
P0 , P ∈ intA , P0 = (x1 , . . . , xn ) , P = (x1 +h1 , . . . , xn +hn )
Definicja 6.21 (Funkcja różniczkowalna w punkcie)
∂f
Niech istnieją pochodne cząstkowe ∂xi (P0 ) , i = 1, . . . , n. Funkcja f jest różniczkowalna
w punkcie P0 ∈ intA wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
lim
P →P0
f (P ) − f (P0 ) −
∂f
∂x1 (P0 )h1
−
∂f
∂x2 (P0 )h2
|P P0 |
− ... −
∂f
∂xn (P0 )hn
=0
Przykład 6.10 Zbadać różniczkowalność funkcji we wskazanych punktach:
• f (x, y) = x2 + y 2 , P0 = (1, −2)
√
• f (x, y) = 3 xy , P0 = (0, 0)
Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga 6.15 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Funkcja f (x, y) =
w P0 = (0, 0), ale nie jest różniczkowalna w tym punkcie.
√
3
xy jest ciągła
Twierdzenie 6.6 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji)
∂f
Jeżeli pochodne cząstkowe ∂xi , i = 1, . . . , n są ciągłe w punkcie P0 , to funkcja f jest
różniczkowalna w tym punkcie.
Definicja 6.22 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P0 . Różniczką funkcji f w punkcie P0
nazywamy funkcję df (P0 ) zmiennych ∆xi określoną wzorem:
def
df (P0 )(∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn ) =
∂f
∂f
∂f
(P0 ) ∆x1 +
(P0 ) ∆x2 + . . . +
(P0 ) ∆xn
∂x1
∂x2
∂xn
Przykład 6.11 Obliczyć różniczkę funkcji f (x, y) =
x2 + y 2 w punkcie P0 = (−3, 4).
Zastosowanie różniczki do obliczania przybliżonych wartości funkcji.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
0
0
P0 = x1 , . . . , x2 , to
0
0
0
0
f (x1 +∆x1 , . . . , xn +∆xn ) ≈ f (x1 , . . . , xn ) + df (P0 )(∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn )
42
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)