Granica i ciagłość funkcji wielu zmiennych - omówienie

6.2
Granica funkcji
Niech dane będą: zbiór A ⊂ Rn , funkcja f : A → R i P0 -punkt skupienia zbioru A .
Definicja 6.9 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie P0 , jeżeli
(∀ {Pk } ⊂ A, Pk = P0 ) ,
lim Pk = P0 ⇒ lim f (Pk ) = g
k→∞
k→∞
Definicja 6.10 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego )
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie P0 , jeżeli
(∀ε 0) (∃ δ(ε, P0 ) 0) (∀P ∈ A) [0

(…)

…) , podobnie dla ustalonego y0 mamy f (x, y0 ) = h(x).
Twierdzenie 6.1
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie (x0 , y0 ) , to funkcje g(y) = f (x0 , y) i h(x) = f (x, y0 )
są ciągłe.
Uwaga 6.6 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Przykład 6.3 Funkcja
f (x, y) =
xy
x2 +y 2
0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
1 1
2 1
nie jest ciągła w punkcie P0 = (0, 0) , ponieważ dla dwóch ciągów n , n , n , n zbieżnych do P0 otrzymujemy różne granice ciągów wartości funkcji.
0y
x·0
Natomiast funkcje stałe: f (0, y) = 0+y2 ≡ 0 , f (x, 0) = 0+y2 ≡ 0 są ciągłe w (0, 0).
37
…
... zobacz całą notatkę