To tylko jedna z 26 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Otoczenie i Sąsiedztwo Niech x 0 ∈ R oraz δ 0 . • Przedział ( x 0 − δ , x 0 + δ ) nazywamy otoczeniem punktu x0 o promieniu δ i oznaczamy U ( x 0 , δ ) . • Przedział x 0 , x 0 + δ ) nazywamy otoczeniem prawostronnym punktu x 0 o promieniu δ . • Przedział ( x 0 − δ , x 0 nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu x 0 o promieniu δ . Zauważmy, że x ∈ U ( x 0 , δ ) ⇐⇒ | x − x 0 | 0 ∃δ 0 ∀x∈D 0 0 ∃K 0 ∀x∈D x K ⇒ | f ( x ) − g | 0 ∀x∈D 0
(…)
… granicy
funkcji, że
lim ( 2x − 7 ) = −5.
x→1
Definicja Heinego granicy
Definicja
w x0
g ( g ∈ R lub g = ±∞ ) jest granicą funkcji f
( x0 ∈ R lub x0 = ±∞ ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnego ciągu { xn } , takiego, że xn ∈ S(x0) ⊂ D , zachodzi
lim xn = x0
n→∞
=⇒
lim f (xn) = g.
n→∞
9
Przykład
Wykaż, korzystając z definicji Heinego granicy funkcji,
że
3x + 1
1
= .
lim
x→2 5x + 4
2
Twierdzenie
równoważne.
Definicje: Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji są
10
Fakt
•
Jeżeli istnieją ciągi
xn
i
xn
spełniające warunki:
lim xn = x0 , przy czym xn = x0 dla n ∈ N oraz
n→∞
lim f (xn) = g ,
n→∞
•
lim xn = x0 , przy czym xn = x0 dla n ∈ N oraz
n→∞
lim f (xn) = g ,
n→∞
• g =g ,
to granica
Przykład
lim f (x) nie istnieje.
x→x0
Wykaż, że granica funkcji
nieskończoności nie istnieje.
f (x) = cos x
w plus
11
Wnioski z definicji Heinego granicy
Twierdzenie
(Arytmetyka granic funkcji)
Jeżeli funkcje f i g
mają granice właściwe w x0 , to
lim ( f (x) ± g(x) ) = x→x f (x) ± x→x g(x) ,
lim
lim
0
0
• lim ( c · f (x) ) = c · lim f (x) , gdzie c ∈ R ,
x→x
x→x
•
x→x0
0
•
0
lim
lim ( f (x) · g(x) ) = x→x f (x) · x→x g(x) ,
lim
0
0
x→x0
lim f (x)
x→x0
f (x)
• lim g(x) = lim g(x) ,
x→x0
x→x0
o ile
lim g(x) = 0 .
x→x0
Twierdzenie
lim…
… określona w pewnym przedziale
(otwartym lub domkniętym) jest ciągła i odwracalna. Wówczas funkcja
odwrotna do funkcji f jest funkcją ciągłą.
Wniosek
Uwaga
Funkcje cyklometryczne są funkcjami ciągłymi.
Wszystkie funkcje elementarne są funkcjami ciągłymi (w
swoich dziedzinach).
Uwaga
(Wykorzystanie ciągłości do obliczania granic)
Założmy, że określona jest funkcja złożona f (g(x)) oraz, że funkcja
f…
… otoczeniem plus nieskończoności.
• Przedział ( −∞ , δ ) nazywamy otoczeniem minus nieskończoności.
• W tym przypadku otoczenie i sąsiedztwo są tymi samymi zbiorami.
4
Granica funkcji
f : D → R,
x0 ∈ D
Definicja
lub
D ⊂ R
∃{xn}∈D
xn −→ x0
Niech f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie
punktu x0 . Funkcja f ma w punkcie x0 granicę g , co zapisujemy
lim f (x) = g,
x→x0
gdy dla dowolnego otoczenia U punktu…
… − arccos 0
x
arctg ln x
0<x
e
2
e<x
4
1
(x−4)2
x>4
0
oraz
24
Rodzaje punktów nieciągłości
• Funkcja f
ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju,
jeżeli itnieją granicę jednostronne f w tym punkcie, ale
lim+ f (x) =
x→x0
lim− f (x)
x→x0
nieciągłość I rodzaju nieusuwalna (”skok”)
albo
lim+ f (x) =
x→x0
lim− f (x)
x→x0
i
lim f (x) = f (x0)
x→x0
nieciągłość I rodzaju usuwalna (”luka”)
• Funkcja
f…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)