FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ • Definicja sąsiedztwa punktu Sąsiedztwem o promieniu δ0 punktu x0∈ R nazywamy zbiór: S(x0, δ) . def = (x0- δ,x0)∪ (x0,x0+ δ) S(x0, δ) R Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu δ0 punktu x0∈ R nazywamy zbiór: S_(x0, δ) . def = (x0- δ,x0) S_(x0, δ) R Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu δ0 punktu x0∈ R nazywamy zbiór: S+(x0, δ) . def = (x0,x0+ δ) S+(x0, δ) R • Definicja otoczenia punktu Otoczeniem punktu o promieniu o promieniu δ0 punktu x0∈ R nazywamy zbiór: U(x0, δ) . def = (x0- δ,x0+ δ) U(x0, δ) Otoczeniem lewostronnym o promieniu δ0 punktu x0∈ R nazywamy zbiór: U_(x0, δ) . def = (x0- δ,x0) U_(x0, δ) R Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ0 punktu x0∈ R nazywamy zbiór: U+(x0, δ) . def = (x0,x0+ δ) U+(x0, δ) R • Oznaczenia: Niech f oznacza funkcję jednej zmiennej Df oznacza dziedzinę funkcji f x oznacza argument funkcji f GRANICE FUNKCJI • Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie: Niech x0∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczbą g nazywamy granicę właściwą funkcji f w punkcie x0 ⇔ gdy dla każdego ciągu (xn), takiego, że xn∈ S(x0) i zbieżnego do punktu x0 ciąg [f(xn)] jest zbieżny do punktu g, co zapisujemy: ' lim 1 1 lim ) ' ( lim 1 ) ( 0 1 '' 0 1 ' 1 lim 3 3 3 0 0 3 0 g n n x f x x f x n x x n x x n n n n n n n n x = + ∞ = = = = = → − = = → = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → → '' ) ( lim 1 1 lim ) '' ( lim 3 3 g n n x f n n n n = − ∞ = − = − = ∞ → ∞ → ∞ → ' 0 0 lim 2 cos lim ) ' ( lim cos ) ( 0 2 '' 2 ' cos lim 2 2 0 g n x f x x f n x n x x n n n n n n n n x = = = + = = + ∞ = → = ∞ + → + = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → → π π π π π ( ) '' 1 1 lim 2 cos lim ) '' ( lim g n x f n n n n = = = = ∞ → ∞ → ∞ → π ( ) ( ) [ ] g x f x x g x f n n n n x x x x S n x n = ⇒ = ∧ ⇔ = ∞ → ∞ → →
(…)
….
•
Definicja:
Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny
Df.
Przykład:
f ( x) = 1 − x 2
Df: 1-x2>0
x ∈ <-1,1>
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
•
Przykłady funkcji ciągłych:
Funkcja stała f(x)=c, c ∈ R
Funkcja tożsamościowa f(x)=x
Wielomian dowolnego stopnia y=Wn(x), n ∈ N
Pn ( x )
Funkcja wymierna f ( x) =
n,m ∈ R jest funkcją ciągłą za wyjątkiem
Rm ( x )
pierwiastków wielomianu Rm(x)
Funkcje trygonometryczne y=cosx, x ∈ R
y=sinx, x ∈ R,
y=tgx, x ∈ R\{xk=π/2+kπ,k ∈ C}
y=ctgx, x ∈ R\{ xk=kπ,k ∈ C}
x
∈ R, a>0
Funkcje wykładnicze y=a , x
Funkcje logarytmiczne y=logax, a>0, a ≠ 1, x>0
Funkcja pierwiastkowa
•
Definicja:
Punkt x0 ∈ Df, w którym funkcja nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości tej funkcji.
Jeżeli x0 jest punktem nieciągłości funkcji ciągłej na pewnym…
…) na przedziale A ⊂ R, to f(A) jest przedziałem
oraz funkcja odwrotna f-1 jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale f(A).
•
Twierdzenie o granicy w argumencie funkcji ciągłej:
Jeżeli istnieje granica właściwa lim f ( x) = q i funkcja h jest ciągła w punkcie y0=q to:
x → x0
lim h( f ( x ) ) = h lim f ( x) = h(q )
x→ x
0
x → x0
Przykład:
lim ln(1 + e x ) = ln(1) = 0
x→ − ∞
•
Twierdzenie Weiestrassa…
…) =
g , x = x0
otoczeniu punktu x0.
jest ciągła na pewnym
Przykład: Zdefiniować funkcję y = x ⋅ sin
1
, aby była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
x
Badamy ciągłość funkcji dla x=0:
1
lim x ⋅ sin = 0
x→ 0
x
1
sin ≤ 1
x
1
x ⋅ sin , x ≠ 0
f * ( x) =
x
0, x = 0
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
•
Twierdzenie:
Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to funkcją ciągłą w punkcie x0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)