Pochodne czastkowe - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 714
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodne czastkowe - omówienie  - strona 1 Pochodne czastkowe - omówienie  - strona 2

Fragment notatki:

Twierdzenie 6.2 (O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli
funkcje f i g są ciągłe w punkcie P0 , to w tym punkcie ciągłe są także funkcje:
• f + g, f − g
• g·f

f
g,
o ile g(P0 ) = 0
Definicja 6.12 (Funkcji ciągłej na zbiorze)
Funkcja jest ciągła na zbiorze A A ⊂ Rn , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru.
Uwaga 6.7 Dla funkcji ciągłych określonych na zbiorze domkniętym i ograniczonym w
Rn prawdziwe jest twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów (3.7) oraz twierdzenie o
lokalnym zachowaniu znaku (3.8).
6.4
Pochodne cząstkowe
Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych: A ⊂ R2 f : A → R , (x0 , y0 ) ∈ intA.
Definicja 6.13 (Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych)
Pochodną cząstkową względem zmiennej x w punkcie (x0 , y0 ) określamy wzorem:
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
def
(x0 , y0 ) = lim
x→x0
∂x
x − x0
Podobnie określamy pochodną cząstkową względem zmiennej y w punkcie (x0 , y0 )
∂f
f (x0 , y) − f (x0 , y0 )
def
(x0 , y0 ) = lim
y→y0
∂y
y − y0


Uwaga 6.8 Pochodne te oznaczamy również: fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 ).
Analogicznie określa się pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji n zmiennych w
0
0
0
punkcie P0 = x1 , x2 , . . . xn ∈ intA.
Definicja 6.14 (Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych)
Pochodną cząstkową względem zmiennej xk w punkcie P0 funkcji n zmiennych
nazywamy granicę:
0
∂f
def
(P0 ) = lim
0
∂xk
x →x
k
0
0
0
0
0
0
0
f x1 , x2 , . . . , xk−1 , xk , xk+1 . . . xn − f x1 , x2 , . . . xn
0
xk − xk
k
Przykład 6.4 Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
a) f (x, y) = x2 sin y
x
b) f (x, y) = e y
c) f (x, y, z) = x2 y + 3xz − yz 2 + 12x + 3
Uwaga 6.9 Dla funkcji wielu zmiennych z istnienia pochodnych cząstkowych nie wynika
ciągłość funkcji.
38
xy
x2 +y 2
(x, y) = (0, 0)
0
(x, y) = (0, 0)
(0, 0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją:
Przykład 6.5 Funkcja f (x, y) =
nie jest ciągła w punkcie
∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lim
= lim
=0
x→0
x→0
∂x
x
x
f (0, y) − f (0, 0)
0−0
∂f
(0, 0) = lim
= lim
=0
y→0
y→0
∂y
y
y
6.5
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Definicja 6.15 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f : A → R , A ⊂ R2 ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu
punktu (x0 , y0 ) . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x0 , y0 )
określamy wzorami:
∂2f
def
2 (x0 , y0 ) =
∂x

∂x
∂f
∂x
(x0 , y0 ) ,
∂2f
def
(x0 , y0 ) =
∂x ∂y

∂x
∂f
∂y
(x0 , y0 )
∂2f
def
2 (x0 , y0 ) =
∂y

∂y
∂f
∂y
(x0 , y0 ) ,
∂2f
def
(x0 , y0 ) =
∂y ∂x

∂y
∂f
∂x
(x0 , y0 )
Uwaga 6.10 Pochodne drugiego rzędu
∂2f
∂x ∂y
i
∂2f
∂y ∂x
nazywamy pochodnymi mieszanymi.
Analogicznie określamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji n zmiennych.
Definicja 6.16 Niech funkcja f : A → R , A ⊂ Rn ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu P0 ∈ intA . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w
0
0
0
punkcie P0 = x1 , x2 , . . . , xn
określamy wzorami:
∂2f
def
(P0 ) =
∂xk ∂xl

∂xk
∂f
∂xl
(P0 )
(k, l = 1, 2, . . . n)
Twierdzenie 6.3 (Schwarza o pochodnych mieszanych)
∂2f
∂2f
Jeżeli pochodne cząstkowe ∂x ∂y , ∂y ∂x są ciągłe w punkcie (x0 , y0 ) , to są równe, tj.
∂2f
∂2f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x ∂y
∂y ∂x
Uwaga 6.11 Prawdziwe są także analogiczne równości dla pochodnych mieszanych drugiego rzędu funkcji n zmiennych, gdzie n 2.
Przykład 6.6 Znaleźć pochodne drugiego rzędu i sprawdzić równość dla odpowiednich
pochodnych mieszanych.
x
a) f (x, y) = e y
b) f (x, y, z) = ln x2 y + zy 3
39
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz