xy
x2 +y 2
(x, y) = (0, 0)
0
(x, y) = (0, 0)
(0, 0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją:
Przykład 6.5 Funkcja f (x, y) =
nie jest ciągła w punkcie
∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lim
= lim
=0
x→0
x→0
∂x
x
x
f (0, y) − f (0, 0)
0−0
∂f
(0, 0) = lim
= lim
=0
y→0
y→0
∂y
y
y
6.5
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Definicja 6.15 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f : A → R , A ⊂ R2 ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu
punktu (x0 , y0 ) . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x0 , y0 )
określamy wzorami:
∂2f
def
2 (x0 , y0 ) =
∂x
∂
∂x
∂f
∂x
(x0 , y0 ) ,
∂2f
def
(x0 , y0 ) =
∂x ∂y
∂
∂x
∂f
∂y
(x0 , y0 )
∂2f
def
2 (x0 , y0 ) =
∂y
∂
∂y
∂f
∂y
(x0 , y0 ) ,
∂2f
def
(x0 , y0 ) =
∂y ∂x
∂
∂y
∂f
∂x
(x0 , y0 )
Uwaga 6.10 Pochodne drugiego rzędu
∂2f
∂x ∂y
i
∂2f
∂y ∂x
nazywamy pochodnymi mieszanymi.
Analogicznie określamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji n zmiennych.
Definicja 6.16 Niech funkcja f : A → R , A ⊂ Rn ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu P0 ∈ intA . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w
0
0
0
punkcie P0 = x1 , x2 , . . . , xn
określamy wzorami:
∂2f
def
(P0 ) =
∂xk ∂xl
∂
∂xk
∂f
∂xl
(P0 )
(k, l = 1, 2, . . . n)
Twierdzenie 6.3 (Schwarza o pochodnych mieszanych)
∂2f
∂2f
Jeżeli pochodne cząstkowe ∂x ∂y , ∂y ∂x są ciągłe w punkcie (x0 , y0 ) , to są równe, tj.
∂2f
∂2f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x ∂y
∂y ∂x
Uwaga 6.11 Prawdziwe są także analogiczne równości dla pochodnych mieszanych drugiego rzędu funkcji n zmiennych, gdzie n 2.
Przykład 6.6 Znaleźć pochodne drugiego rzędu i sprawdzić równość dla odpowiednich
pochodnych mieszanych.
x
a) f (x, y) = e y
b) f (x, y, z) = ln x2 y + zy 3
39
Definicja 6.17 (Pochodne cząstkowe wyższych rzędów)
Niech funkcja n zmiennych ma pochodne cząstkowe rzędu m 1 przynajmniej na otoczeniu punktu P0 ∈ intA . Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0 pochodnych
cząstkowych rzędu m funkcji f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu m+1 funkcji f w punkcie P0 .
Przykład 6.7 Znaleźć pochodne cząstkowe trzeciego rzędu następujących funkcji:
sin x
a) f (x, y, z) = x2 y + zy 3 b) f (x, y, z) = ln (x + 2y − 3z) c) f (x, y) =
sin y
Definicja 6.18 (Funkcje klasy C m )
Jeżeli funkcja f : A → R , A ⊂ Rn ma w zbiorze otwartym A ciągłe pochodne cząstkowe
do rzędu m włącznie, to mówimy, że funkcja f jest klasy C m na tym zbiorze i zapisujemy:
f ∈ C m (A).
6.6
Pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Niech dana będzie funkcja n zmiennych z = f (x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ), gdzie
(x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ D, D ⊂ Rn , oraz n funkcji xi = ϕi (t1 , t2 , . . . , tm ),
(t1 , t2 , . . . , tm ) ∈ ∆, ∆ ⊂ Rm , przy czym ϕ(∆) ⊂ D .
Wówczas funkcja złożona z = f (ϕ1 (t1 , t2 , . . . , tm ), . . . , ϕn (t1 , t2 , . . . , tm )) jest funkcją m
zmiennych.
Twierdzenie 6.4 (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja z = f (x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) jest klasy C 1 na zbiorze D oraz funkcje
ϕi (t1 , t2 , . . . , tm ) mają pochodne cząstkowe na ∆, to funkcja złożona z = f (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn )
ma pochodne cząstkowe na ∆. Wówczas:
∂z
=
∂tk
n
i=1
∂f ∂ϕi
·
, k = 1, 2 . . . , m
∂xi ∂tk
Przykład 6.8 Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych z = f (x, y) , f ∈ C 1 (D), gdzie
x = φ(u, v) , y = ψ(u, v) , (u, v) ∈ ∆ , ∆ ⊂ R2 , oraz φ, ψ ∈ C 1 (∆).
∂z
∂z
Wówczas wzory na pochodne cząstkowe ∂u i ∂v przyjmują postać:
∂z
∂f ∂φ ∂f ∂ψ
=
·
+
·
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂f ∂φ ∂f ∂ψ
∂z
=
·
+
·
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
Rozważmy jeszcze dwa szczególne przypadki:
1. z = f (x, y), x = x(t), y = y(t). Funkcja złożona z = f (x(t), y(t)) jest funkcją tylko
jednej zmiennej. Mamy zatem:
dz
∂f dx ∂f dy
=
·
+
·
dt
∂x dt
∂y dt
2. z = f (x, y), y = y(x)
dz
∂f
∂f dy
=
+
·
dx
∂x ∂y dx
Przykład 6.9 Funkcja z = z(x, y) spełnia warunek
f (u, v) =
z(u2
−
v 2 , 2uv)
spełnia równanie
∂2f
∂u2
40
+
∂2f
∂v 2
∂2z
∂x2
+
≡ 0.
∂2z
∂y 2
≡ 0. Pokazać, że funkcja
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)