Pochodna kierunkowa funkcji trzech zmiennych - omówienie

6.7
Pochodna kierunkowa funkcji trzech zmiennych
Niech dana będzie funkcja f : A → R , A ⊂ R3 , punkt P0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ int A oraz wersor
→
v = (cos α, cos β, cos γ).
Zakładamy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Definicja 6.19 (Pochodnej kierunkowej funkcji)
→
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P0 w kierunku v określamy wzorem:
∂f
→ (x0 , y0 , z0 )
∂v
= lim
t→0+
f (x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − f (x0 , y0 , z0 )
t
→
Uwaga 6.12 Rozpatrując funkcję f na prostej o wersorze kierunkowym v otrzymujemy
funkcję jednej zmiennej:
ϕ(t) = f (x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ)
Z określenia pochodnej kierunkowej mamy:
∂f
→ (x0 , y0 , z0 )
∂v
′
= ϕ (0)
Z reguł obliczania pochodnych funkcji złożonej wynika:
∂f
→ (P0 )
∂v
=
∂f
∂f
∂f
(P0 ) · cos α +
(P0 ) · cos β +
(P0 ) · cos γ
∂x
∂y
∂z
Uwaga 6.13 Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej.
→
→
Np. dla funkcji f dwóch zmiennych i wersorów v = (1, 0) , u = (0, 1) mamy
∂f
→
∂v
=
∂f
∂f
∂f
oraz → =
∂x
∂y
∂u
→
Pochodna kierunkowa określa prędkość zmiany wartości funkcji f w kierunku v
Analogicznie określamy pochodną kierunkową funkcji n zmiennych w punkcie P0
→
w kierunku wersora v = (l1 , l2 , . . . , ln ) i otrzymujemy wzór:
∂f
→ (P0 )
∂v
=
∂f
∂f
∂f
(P0 ) · l1 +
(P0 ) · l2 + . . .
(P0 ) · ln
∂x1
∂x2
∂xn
Definicja 6.20 (Gradient funkcji)
Gradientem funkcji f w punkcie P0 nazywamy wektor określony wzorem:
∂f
∂f
∂f
(P0 ),
(P0 ), . . . ,
(P0 )
∂x1
∂x2
∂xn
def
grad f (P0 ) =
Uwaga 6.14
→
Jeśli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie P0 i v jest dowolnym wersorem,
to:
∂f
→ (P0 )
∂v
→
= grad f (P0 )◦ v
Interpretacja geometryczna gradientu
41
... zobacz całą notatkę