Przykład 6.12 Obliczyć wartości przybliżone podanych wyrażeń:
1.
(1.05)2 + (1.97)2
2. (1.04)3.01
3. arctg 1.001
arcsin 0.49
6.9
Podstawowe twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych wielu zmiennych
Ograniczymy się do przypadku funkcji dwóch zmiennych klasy C 2 (A) , A ⊂ R2 . Całe
rozumowanie można powtórzyć dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.
Definicja 6.23 (Różniczka drugiego rzędu)
Różniczką drugiego rzędu funkcji f ∈ C 2 (A) w punkcie P0 (x0 , y0 ) nazywamy funkcję
d2 f (P0 ) zmiennych ∆x, ∆y określoną wzorem:
d2 f (P0 )(∆x, ∆y) =
∂2f
∂2f
∂2f
(x0 , y0 )(∆x)2 + 2
(x0 , y0 ) ∆x ∆y + 2 (x0 , y0 ) (∆y)2
∂x∂y
∂x2
∂y
Twierdzenie 6.7 (Lagrange’a o przyrostach)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym otoczeniu
O(P0 ), P0 = (x0 , y0 ), to dla dowolnego punktu P (x, y) ∈ O(P0 ) istnieje taka liczba
Θ ∈ (0, 1), że
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 + Θ(x − x0 ), y0 + Θ(y − y0 ))(∆x, ∆y)
Dowód:
Oznaczymy ∆x = (x − x0 ), ∆y = (y − y0 ) i wprowadzimy funkcję pomocniczą
Φ(t) = f (x0 + t ∆x, y0 + t ∆y).
Mamy: Φ(0) = f (x0 , y0 ), Φ(1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y). Funkcja Φ jest klasy C 1 i
z twierdzenia Lagrange’a dla funkcji jednej zmiennej 4.7 otrzymujemy:
∃Θ ∈ (0, 1) : Φ(1) = Φ(0) + Φ′ (Θ)
(8)
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy
Φ′ (t) = ∂f (x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆x + ∂f (x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆y
∂x
∂y
Stąd Φ′ (Θ) = df (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y) i stosując wzór (8) otrzymujemy tezę:
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 + Θ(x − x0 ), y0 + Θ(y − y0 ))(∆x, ∆y)
♥
Wniosek 6.1
• Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są tożsamościowo równe zeru na zbiorze A, to
funkcja f jest stała na A.
• Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są ciągłe na A, to funkcja jest ciągła na A.
43
Twierdzenie 6.8 (Taylora)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie na pewnym
otoczeniu O(P0 ), P0 = (x0 , y0 ), to dla dowolnego punktu P (x, y) ∈ O(P0 ) istnieje taka
liczba Θ ∈ (0, 1), że
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) +
1 2
d f (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y)
2
Dowód:
Oznaczymy ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 i wprowadzimy funkcję pomocniczą
Φ(t) = f (x0 + t ∆x, y0 + t ∆y).
Mamy: Φ(0) = f (x0 , y0 ), Φ(1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y). Funkcja Φ jest klasy C 2 i
z twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej 4.9 otrzymujemy:
∃Θ ∈ (0, 1) : Φ(1) = Φ(0) + Φ′ (0) +
1
Φ”(Θ)
2!
(9)
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy
Φ′ (t) =
Φ”(t) =
∂f
∂f
(x0 + t∆x, y0 + t∆y) ∆x +
(x0 + t∆x, y0 + t∆y)∆y
∂x
∂y
∂2f
∂2f
∂2f
(x0 +t∆x, y0 +t∆y)∆x2 +2
(x0 +t∆x, y0 +t∆y)∆x ∆y+ 2 (x0 +t∆x, y0 +t∆y)∆y 2
∂x2
∂x∂y
∂y
Stąd
Φ′ (0) = df (x0 , y0 )(∆x, ∆y)
Φ”(Θ) =
∂2f
∂x2 (x0
2
∂ f
+ Θ ∆x, y0 + Θ ∆y) ∆x2 + 2 ∂x∂y (x0 + Θ ∆x, y0 + Θ ∆y) ∆x ∆y +
2
+ ∂ f (x0 + Θ ∆x, y0 + Θ ∆y) ∆y 2 = d2 f (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y)
∂y 2
Stosując wzór (9) otrzymujemy tezę:
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) +
1 2
d f (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y)
2
♥
6.10
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A → R , A ⊂ Rn oraz punkt P0 ∈ intA.
Definicja 6.24 (Maksimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P0 )
takie, że dla dowolnego punktu P ∈ O(P0 ) zachodzi nierówność:
f (P ) − f (P0 )
0
Definicja 6.25 (Minimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P0 )
takie, że dla dowolnego punktu P ∈ O(P0 ) zachodzi nierówność:
f (P ) − f (P0 )
44
0
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)