To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Twierdzenie o całkowaniu przez cz ci ( ) I D g f ∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f x g x f dx x g x f ′ − = ′ , I x ∈ o ile istniej całki po prawej i po lewej stronie równo ci. Dowód ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g x f x g x f ′ + ′ = ′ całkuj c dwie strony równo ci mamy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f dx x g x f x g x f ′ + ′ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f x g x f dx x g x f ′ − = ′ Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) C x x x xdx x x x x f x f x g x x g xdx x x + − = − ⋅ = = = ′ = ′ = = ln ln 1 ln ln 1 1 Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ′ ⋅ = = dt t h t h f dx x f t h x dla J t ∈ Dowód Niech ( ) ( ) = x f x F : . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ′ ⋅ = ′ ⋅ ′ = = = ′ = t h t h f t h t h F t h F dt d x F dt d f F t h x St d ( ) ( ) ( ) ( ( ) ′ ⋅ = = dt t h t h f x F t h x ( ) ( ) ∈ → ∃ → J D h I J h dx x f R I f : : 2 Je li dodatkowo funkcja h jest bijekcj , to: ( ) ( ) ( ( ) ( ) − = ′ ⋅ = x h t dt t h t h f x F 1 Otrzymujemy Wniosek (Wniosek o całkowaniu przez podstawienie) Je li spełnione s zało enia twierdzenia o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej oraz dodatkowo funkcja I J h → : jest bijekcj to: ( ) ( ) ( ( ) ( ) − = ′ ⋅ = x h t dt t h t h f dx x f 1 , I x ∈ Przykłady a0 ( ) C C t t dt adt t a adt dx at x t dx a x a dx a x a x a x + = + = = − = ⋅ − = = = = = − = − arcsin arcsin 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + = = + = + = = = = + C a x arctg a arctgt a t adt a t a a adt adt dx at x x a dx 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 Całkowanie przez wł czanie pod ró niczk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)