Matematyka - metody całkowania

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 532
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - metody całkowania - strona 1 Matematyka - metody całkowania - strona 2

Fragment notatki:


  1  Twierdzenie o całkowaniu przez cz ci    ( ) I D g f ∈ ,     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f x g x f dx x g x f ′ − = ′ ,  I x ∈     o ile istniej  całki po prawej i po lewej stronie równo ci.      Dowód  ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g x f x g x f ′ + ′ = ′   całkuj c dwie strony równo ci mamy:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f dx x g x f x g x f ′ + ′ =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f x g x f dx x g x f ′ − = ′       Przykład  ( ) ( ) ( ) ( ) C x x x xdx x x x x f x f x g x x g xdx x x + − = − ⋅ = = = ′ = ′ = = ln ln 1 ln ln 1 1                 Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej)          ( ) ( ) ( ) ( ( ) ′ ⋅ = = dt t h t h f dx x f t h x dla  J t ∈       Dowód    Niech  ( ) ( ) = x f x F : .  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ′ ⋅ = ′ ⋅ ′ = = = ′ = t h t h f t h t h F t h F dt d x F dt d f F t h x   St d  ( ) ( ) ( ) ( ( ) ′ ⋅ = = dt t h t h f x F t h x       ( ) ( ) ∈ → ∃ → J D h I J h dx x f R I f : :   2  Je li dodatkowo funkcja  h   jest    bijekcj ,   to:  ( ) ( ) ( ( ) ( ) − = ′ ⋅ = x h t dt t h t h f x F 1     Otrzymujemy     Wniosek   (Wniosek o całkowaniu przez podstawienie)     Je li spełnione s  zało enia twierdzenia o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej oraz  dodatkowo funkcja   I J h → :   jest    bijekcj     to:  ( ) ( ) ( ( ) ( ) − = ′ ⋅ = x h t dt t h t h f dx x f 1 ,  I x ∈       Przykłady   a0  ( ) C C t t dt adt t a adt dx at x t dx a x a dx a x a x a x + = + = = − = ⋅ − = = = = = − = − arcsin arcsin 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2     + = = + = + = = = = + C a x arctg a arctgt a t adt a t a a adt adt dx at x x a dx 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2     Całkowanie przez wł czanie pod ró niczk   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  C x ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz