4
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
4.1
Pochodna
Definicja 4.1 ( Pochodnej)
Funkcja f : A → R ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 ∈ intA , jeżeli istnieje
granica ilorazu różnicowego
f (x) − f (x0 )
lim
x→x0
x − x0
Granicę tę oznaczamy f ′ (x0 ) lub
df (x0 )
dx
i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 .
Twierdzenie 4.1
Jeżeli funkcja f : A → R ma w punkcie x0 ∈ intA pochodną f ′ (x0 ), to jest ciągła w tym
punkcie.
Dowód: Obierzmy punkt x ∈ A . Możemy zapisać:
f (x) =
f (x) − f (x0 )
· (x − x0 ) + f (x0 )
x − x0
Po przejściu do granicy otrzymujemy:
lim f (x) = lim
x→x0
x→
f (x) − f (x0 )
· lim (x − x0 ) + f (x0 ) = f ′ (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0 )
x→x0
x − x0
Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x0 .
♥
Definicja 4.2 (Pochodnej na zbiorze)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie wewnętrznym x ∈ A , to funkcję x → f ′ (x)
df
nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze A i oznaczamy ją symbolem f ′ lub dx .
Przykład 4.1 Znaleźć pochodną funkcji f (x) = sin x na zbiorze R.
Rozwiązanie:
Niech x0 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Oznaczmy ∆x = x − x0 .
2 sin ∆x cos(x0 +
sin(x0 + ∆x) − sin x0
2
= lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
lim
∆x
2 )
= lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
cos(x0 +
∆x
) = cos x0
2
Z dowolności x0 wynika, że (∀x ∈ R) (sin x)′ = cos x .
Przykład 4.2 Wykazać, że (cos x)′ = − sin x.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech α oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) i dodatnim kierunkiem osi Ox. Wtedy
f ′ (x0 ) = tg α
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) ma postać:
y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 )
19
Przykład 4.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = cos x w punkcie
π
2,0 .
Przykład 4.4 Wyprowadzić wzór na miarę kąta ostrego pod jakim przecinają się wykresy
dwóch funkcji.
Znaleźć miarę kąta pod jakimi przecinają się wykresy f (x) = x2 , g(x) = x3 .
Definicja 4.3 ( Pochodnej jednostronnej)
Niech x0 ∈ A i istnieje takie δ 0 , że (x0 − δ, x0 ⊂ A . Pochodną lewostronną funkcji
f w punkcie x0 nazywamy granicę lewostronną właściwą:
′
f− (x0 ) = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną:
′
f+ (x0 ) = lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Uwaga 4.1 Funkcja f ma w punkcje x0 pochodną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne lewostronna i prawostronna w tym punkcie i są równe.
Przykład 4.5 Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = |x| w punkcie x0 = 0 .
Rozwiązanie: Obliczamy pochodne jednostronne:
′
f− (0) = lim
x→0−
|x| − |0|
−x
= lim
= −1
x→0− x
x
x
|x| − |0|
= lim
= 1
x→0+ x
x→0+
x
′
′
Skoro f− (x0 ) = f− (x0 ) , to nie istnieje pochodna funkcji f (x) = |x| w x0 = 0.
′
f+ (x0 ) = lim
Przykład 4.6
1. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = | sin x| w punkcie x0 = 0 .
2. Znaleźć pochodną f (x) = x|x| w punkcie x0 = 0
1
Przykład 4.7 Pokazać, że dla x 0 mamy (ln x)′ = x .
Dowód: Ustalmy dowolne x0 0 i oznaczmy ∆x = x − x0 .
1
ln(x0 + ∆x) − ln x0
∆x x0
1
1
= lim
ln(1 +
) ∆x =
ln e =
∆x→0
∆x→0 x0
∆x
x0
x0
x0
lim
Przy obliczaniu powyższej granicy wykorzystano ciągłość funkcji f (x) = ln x na prze1
dziale (0, ∞) oraz własność lim (1 + z) z = e, ( bierzemy z = ∆x ). Z dowolności
x0
z→0
x0 0 otrzymujemy wzór:
1
(∀x ∈ R+ ) (ln x)′ =
x
Definicja 4.4 ( Pochodnej na przedziale domkniętym)
Jeżeli funkcja f : a, b → R ma pochodną w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b)
oraz istnieją pochodne f ′ (a+ ) oraz f ′ (b− ) , to mówimy, że funkcja f ma pochodną na całym
przedziale a, b .
20
Definicja 4.5 ( Klas funkcji) Zbiór wszystkich funkcji mających pochodną na całym
zbiorze A oznaczamy przez D1 (A) . Zbiór wszystkich funkcji mających ciągłe pochodne na
zbiorze A oznaczamy C 1 (A) .
Twierdzenie 4.2 ( O pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji)
Jeżeli funkcje f : A → R , g : A → R mają pochodne w punkcie x0 ∈ A , to pochodną w
punkcie x0 mają też funkcje: f + g , f − g , f · g , oraz f ( o ile g(x0 ) = 0 ).Ponadto
g
• (f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ) .
• (f − g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) − g ′ (x0 ) .
• (f · g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x)g ′ (x0 ) .
• ( f )′ (x0 ) =
g
f ′ (x0 )g(x0 )−f (x0 )g ′ (x0 )
(g ′ (x0 ))2
.
Przykład 4.8 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji f (x) = tg(x) i g(x) = ctg(x).
Twierdzenie 4.3 (O pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , funkcja g ma pochodną w punkcie f (x0 ) ,
to funkcja złożona (g ◦ f ) ma pochodną w x0 oraz
(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (f (x0 )) · f ′ (x0 )
Twierdzenie 4.4 ( O pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech funkcja f
• będzie ciągła i wzajemnie jednoznaczna na zbiorze A
• ma pochodną f ′ (x0 ) = 0
Wtedy funkcja odwrotna f −1 ma pochodną w punkcie y0 = f (x0 ) i
f −1
′
(y0 ) =
1
f ′ (x0 )
Uwaga 4.2 Jeżeli funkcja y = f (x) jest określona na A ⊂ R i ma funkcję odwrotną
w A oraz w każdym punkcie x ∈ A istnieje pochodna funkcji f i f ′ (x) = 0 , to funkcja
odwrotna x = f −1 (y) ma w każdym punkcie swojej dziedziny pochodną (f −1 )′ (y) i
(f −1 )′ (y) =
1
| −1
f ′ (x) x=f (y)
Przykład 4.9 Udowodnić, że dla x ∈ R (ex )′ = ex .
Dowód:
Funkcja f −1 (x) = ex , x ∈ R jest funkcją odwrotną do funkcji f (t) = ln t, t ∈ R+ .
Korzystając z Twierdzenia 4.4 o pochodnej funkcji odwrotnej i Przykładu 4.7 otrzymujemy
(f −1 )′ (x) =
1
|t=ex
f ′ (t)
Przykład 4.10 Pokazać, że
21
=
1
x
1 |t=e
t
= ex
• (loga x)′ =
1
x ln a
• (ax )′ = ax ln a ,
,
x ∈ R+ , a ∈ R+ \ {1} .
x ∈ R,
a ∈ R+ \ {1} .
Przykład 4.11 Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = arc sin x, x ∈ −1, 1 .
Rozwiązanie: Niech y = sin x, x ∈ − π , π .
2 2
Funkcją odwrotną do tej funkcji jest f −1 (y) = g(y) = arc sin y, y ∈ −1, 1 .
Z twierdzenia 4.4 wynika, że
g ′ (y) =
1
| −1
f ′ (x) x=f (y)
1
1
π
π
|
=
|y=sin x , x = i x == −
′ y=sin x
(sin x)
cos x
2
2
=
Ale dla x ∈, cos x =
2 2
Stąd g ′ (y) = √ 1
Ostatecznie
√
1 − sin x2 =
1 − y2 .
, dla y ∈ (−1, 1) .
1−y 2
1
(arc sin x)′ = √1−x2
, dla x ∈ (−1, 1) .
Przykład 4.12 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji: y = arc cos x, y = arctg x.
Definicja 4.6 (Pochodnych rzędu n )
Drugą pochodną funkcji f : A → R w punkcie x0 definiujemy jako pochodną pierwszej
pochodnej i oznaczamy
f ′′ (x0 ) = f
′
′
(x0 )
Pochodną n-tego rzędu w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie
f (n) (x0 ) = f (n−1)
′
(x0 )
Przykład 4.13 Obliczyć drugą pochodną funkcji f (x) = cos3 x .
2
Definicja 4.7 ( Klas funkcji dowolnego rzędu)
Zbiór wszystkich funkcji mających n - tą pochodną na zbiorze A oznaczamy Dn (A) , a
zbiór wszystkich funkcji mających ciągłą n - tą pochodną na A, przez C n (A) .
Przez C ∞ (A) oznaczamy zbiór funkcji posiadających na A pochodne dowolnego rzędu.
Wniosek 4.1
1. f ∈ D∞ (A) ⇐⇒ {(∀n ∈ N ∪ {0}), f ∈ C n (A)}
(Przyjmujemy, że C 0 (A) = C(A))
2. f ∈ Dn (A) =⇒ {f ∈ C (n−1) (A)} =⇒ {(∀k
n − 1) , f ∈ C k (A)}
3. Jeśli f ∈ C n (A), to f ∈ Dn (A)
4. Z tego,że f ∈ Dn (A) nie wynika, że f ∈ C n (A)
22
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)