To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
5.1
Całkowanie przez podstawienie
Przykład 5.3 Znaleźć całkę:
ln2 x
dx
x
Podstawiając nową zmienną u = ln x możemy zadanie rozwiązać w następujący sposób:
du =
ln2 x
dx =
x
dx
=⇒
x
u2 du =
u3
ln3 x
+C =
+C
3
3
Twierdzenie 5.2 (pierwsze o całkowaniu przez podstawienie)
Niech u : A → T ; u ∈ D1 (A) oraz ∃ f (u) du na T . Wtedy
∃
oraz
f (u(x)) u′ (x) dx =
f (u(x)) u′ (x) dx
f (u) du dla u = u(x).
Dowód:
f (u) du . Wtedy F (u(x)) jest funkcją pierwotną funkcji
Oznaczmy F (u) =
f (u(x)) u′ (x).
Rzeczywiście z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy
d
dF (u) du
F (u) =
= f (u(x)) u′ (x)
dx
du dx
Przykład 5.4
a)
tgx dx = −
b)
1
(cos x)′ dx = − ln | cos x| + C
cos x
u′ (x)
dx = ln |u(x)| + C
u(x)
Twierdzenie 5.3 (drugie o całkowaniu przez podstawienie)
Niech f : A → R będzie funkcją całkowalną na A oraz (φ : T → A) odwzorowaniem
wzajemnie jednoznacznym. Niech ∃ f (φ(t)) φ′ (t) dt .
Wtedy
f (x) dx =
f (φ(t)) φ′ (t) dt
dla t = φ−1 (x)
Dowód:
Wystarczy sprawdzić , że pochodne względem x funkcji pierwotnych F (x) = f (x) dx
i G(t) = f (φ(t))φ′ (t) dt są sobie równe. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji
złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy:
d
d
1
d
G(φ−1 (x)) = G(t) φ−1 (x) = f (φ(t)) φ′ (t) ′
= f (φ(φ−1 (x))) = f (x)
dx
dt
dx
φ (t)
Przykład 5.5 Znaleźć całkę:
1 − x2 dx
34
Funkcja podcałkowa jest określona na przedziale . Podstawmy x = sin t , gdzie
t ∈ . Wtedy dx = cos t dt i t = arc sin x
2 2
1 − x2 dx =
1
sin t cos t
1 + cos 2t
dt = t +
+C =
2
2
2
cos2 t dt =
| cos t| cos t dt =
√
1
x 1 − x2
arcsinx −
+C
2
2
Przykład 5.6 Podstawiając x = t3 obliczymy całkę
√
3
5.2
dx
dx = 3
x+1
t2
dt = 3
t+1
(t−1) dt + 3
√
√
3 2
1
dt = x 3 + −3 3 x + 3 ln | 3 x+1| +C
t+1
2
Całkowanie przez części
Twierdzenie 5.4 Niech u, v ∈ C 1 (A) .Wtedy
u(x) v ′ (x) dx = u(x) v(x) −
v(x) u′ (x) dx
Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji
(uv)′ = u′ v + uv ′
Przykład 5.7
ln x dx =
(x)′ ln x dx = x ln x −
arctg x dx = x arctgx −
x
1
dx = x ln x − x + C
x
ln(1 + x2 )
x
dx = xarctgx −
+C
2
1+x
2
Uwaga: Nie wszystkie całki funkcji ciągłych (a więc całkowalnych) dają się przedstawić
przez funkcje elementarne.
Na przykład :
ex
dx =
x
6
6.1
dy
;
ln y
cos x
dx ;
x
2
e−x dx ;
sin x
dx
x
Funkcje wielu zmiennych
Definicja funkcji wielu zmiennych
Niech A ⊂ Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , · · · yn ) , d(x, y) =
Definicja 6.1 (Otoczenia punktu)
Otoczeniem o promieniu r punktu P0 ∈ Rn nazywamy zbiór:
def
O(P0 , r) = {P : d(P0 , P )
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)