To tylko jedna z 23 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne to przybliżone obliczanie całek oznaczonych. Proste
metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą
odpowiedniej sumy ważonej całkowanej funkcji w kilku punktach.
Całkowanie numeryczne zalicza się do metod numerycznych.
Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint
rule):
Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale całkowania, reguła
taka da dobre przybliżenie całki.
Żeby uzyskać dokładniejsze przybliżenie można podzielić przedział całkowania na
niewielkie fragmenty i w każdym z nich osobno oszacować całkę.
Przykład
Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją
scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd
przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych
prawidłowy wynik wynosi:
Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:
co daje błąd 0.0361115771 (błąd względny 4.3%) – niewielki jak na tak prostą
metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.
Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:
Z błędem bezwzględnym 0.0088296604 lub względnym 1%.
Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze
przybliżenie:
Ilość części
Wynik
Błąd
1
0.8775825619 0.0361115771
2
0.8503006452 0.0088296604
4
0.8436663168 0.0021953320
8
0.8420190672 0.0005480824
Przykład 2
Całkowanie
numeryczne
przebiegów
czasowych.
Spróbujmy
scałkować
spróbkowany przebieg sin(t) na przedziale od 0 do 4 * π [s]. Załóżmy, że
częstotliwość próbkowania fp przebiegu wynosi fp [Hz].
Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału
wynosi 1. Niech Xi(t) oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz Xi można obliczyć
jako sumę częściową:
Im mniejsza średnica podziału (wyższa częstotliwość próbkowania), tym wynik
dokładniejszy. Uwaga: po scałkowaniu amplituda przebiegu wzrasta, tym bardziej, im
mniejsza średnica podziału.
Ogólnie mamy metodę:
W metodzie prostokątów korzystamy z definicji całki oznaczonej
Riemanna , w której wartość całki interpretowana jest jako suma pól
obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania
. Sumę tę przybliżamy przy pomocy sumy pól odpowiednio
dobranych prostokątów. Sposób postępowania jest następujący:
Przedział całkowania dzielimy na n równo odległych punktów
x1,x2,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:
dla i = 1,2,...,n
i
xi = xp + (xk - xp)
n
Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to
podstawa każdego prostokąta:
xk - x p
n
Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość
funkcji f(x) w tym punkcie:
dx =
fi = f(xi), dla i = 1,2,...,n
Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych wartości funkcji przez
odległość dx między dwoma sąsiednimi punktami - da to sumę pól
poszczególnych prostokątów ograniczonych wykresem funkcji:
S = f1 dx + f2 dx + ... + fn
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)