Całkowanie numeryczne - wykład - metody

Nasza ocena:

3
Pobrań: 77
Wyświetleń: 1337
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Całkowanie numeryczne - wykład - metody - strona 1 Całkowanie numeryczne - wykład - metody - strona 2 Całkowanie numeryczne - wykład - metody - strona 3

Fragment notatki:

Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne to przybliżone obliczanie całek oznaczonych. Proste
metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą
odpowiedniej sumy ważonej całkowanej funkcji w kilku punktach.
Całkowanie numeryczne zalicza się do metod numerycznych.
Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint
rule):
Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale całkowania, reguła
taka da dobre przybliżenie całki.
Żeby uzyskać dokładniejsze przybliżenie można podzielić przedział całkowania na
niewielkie fragmenty i w każdym z nich osobno oszacować całkę.
Przykład
Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją
scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd
przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych
prawidłowy wynik wynosi:
Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:
co daje błąd 0.0361115771 (błąd względny 4.3%) – niewielki jak na tak prostą
metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.
Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:
Z błędem bezwzględnym 0.0088296604 lub względnym 1%.
Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze
przybliżenie:
Ilość części
Wynik
Błąd
1
0.8775825619 0.0361115771
2
0.8503006452 0.0088296604
4
0.8436663168 0.0021953320
8
0.8420190672 0.0005480824
Przykład 2
Całkowanie
numeryczne
przebiegów
czasowych.
Spróbujmy
scałkować
spróbkowany przebieg sin(t) na przedziale od 0 do 4 * π [s]. Załóżmy, że
częstotliwość próbkowania fp przebiegu wynosi fp [Hz].
Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału
wynosi 1. Niech Xi(t) oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz Xi można obliczyć
jako sumę częściową:
Im mniejsza średnica podziału (wyższa częstotliwość próbkowania), tym wynik
dokładniejszy. Uwaga: po scałkowaniu amplituda przebiegu wzrasta, tym bardziej, im
mniejsza średnica podziału.
Ogólnie mamy metodę:
W metodzie prostokątów korzystamy z definicji całki oznaczonej
Riemanna , w której wartość całki interpretowana jest jako suma pól
obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania
. Sumę tę przybliżamy przy pomocy sumy pól odpowiednio
dobranych prostokątów. Sposób postępowania jest następujący:
Przedział całkowania dzielimy na n równo odległych punktów
x1,x2,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:
dla i = 1,2,...,n
i
xi = xp + (xk - xp)
n
Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to
podstawa każdego prostokąta:
xk - x p
n
Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość
funkcji f(x) w tym punkcie:
dx =
fi = f(xi), dla i = 1,2,...,n
Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych wartości funkcji przez
odległość dx między dwoma sąsiednimi punktami - da to sumę pól
poszczególnych prostokątów ograniczonych wykresem funkcji:
S = f1 dx + f2 dx + ... + fn ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz