To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1) Wstęp Ekstrapolacja Richardsona polega na obliczaniu dokładniejszej wartości całki na podstawie dwóch wartości wyznaczonych numerycznie dla różnych wielkości podprzedziałów, na jakie podzielony jest przedział całkowania. Metodę można użyć wtedy, gdy dysponujemy wzorem na błąd metody całkowania.
Zastosowanie ekstrapolacji Richardsona do metody trapezów przybliżonego całkowania
Błąd metody trapezów wyraża wzór
(1)
Niech będzie przybliżoną wartością całki wyznaczoną metodą trapezów, a błędem obliczenia całki przy wielkości podprzedziału . Wówczas dokładną wartość całki można wyznaczyć z równania
(2)
gdzie jest stałą ( przy założeniu, że jest niezależne od wielkości podprzedziału h ). Analogicznie, gdy jest przybliżoną wartością całki wyznaczoną metodą trapezów, a błędem obliczenia całki przy wielkości podprzedziału , można napisać
(3)
Po przyrównaniu prawych stron równań (2) oraz (3) otrzymujemy
(4)
Z równania (4) wyznaczamy c (5)
Po podstawieniu prawej strony równania (5) do równania (3) dostajemy
(6)
Błąd zależności (6) jest rzędu , podczas gdy błąd metody trapezów jest rzędu .
2) Ekstrapolacja iterowana Richardsona Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). wartością dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe rosną gdy h maleje.
Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia ( p 1 1
Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji , którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:
Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h 0 i liczba q1, stosuje się wzór rekurencyjny:
A m ,0 = F ( q − m h 0 )
m = 0,1,2...
k = 1,2,3...
F n ( h 0 ) = A n − 1, n − 1 n = 2,3,4...
Zastosowanie do różniczkowania numerycznego Różnica progresywna
p 1 = 1, p 2 = 2, p 3 = 3,...
3) Program 4) Przykład z dokładnością stosując ekstrapolację Richardsona z wykorzystaniem wzoru trapezów.
Rozwiązanie . Ze względu na wygodę obliczeń przyjmiemy zasadę, że przedział dzielimy na połowy. W tabeli 8.4 zostały zestawione przybliżone wartości całki (8.5) policzone metodą trapezów, gdy przedział całkowania [0 ; 2] dzielimy kolejno na 2, 4, 8, 32 podprzedziały.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)