Funkcja podcałkowa jest określona na przedziale . Podstawmy x = sin t , gdzie
t ∈ . Wtedy dx = cos t dt i t = arc sin x
2 2
1 − x2 dx =
1
sin t cos t
1 + cos 2t
dt = t +
+C =
2
2
2
cos2 t dt =
| cos t| cos t dt =
√
1
x 1 − x2
arcsinx −
+C
2
2
Przykład 5.6 Podstawiając x = t3 obliczymy całkę
√
3
5.2
dx
dx = 3
x+1
t2
dt = 3
t+1
(t−1) dt + 3
√
√
3 2
1
dt = x 3 + −3 3 x + 3 ln | 3 x+1| +C
t+1
2
Całkowanie przez części
Twierdzenie 5.4 Niech u, v ∈ C 1 (A) .Wtedy
u(x) v ′ (x) dx = u(x) v(x) −
v(x) u′ (x) dx
Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji
(uv)′ = u′ v + uv ′
Przykład 5.7
ln x dx =
(x)′ ln x dx = x ln x −
arctg x dx = x arctgx −
x
1
dx = x ln x − x + C
x
ln(1 + x2 )
x
dx = xarctgx −
+C
2
1+x
2
Uwaga: Nie wszystkie całki funkcji ciągłych (a więc całkowalnych) dają się przedstawić
przez funkcje elementarne.
Na przykład :
ex
dx =
x
6
6.1
dy
;
ln y
cos x
dx ;
x
2
e−x dx ;
sin x
dx
x
Funkcje wielu zmiennych
Definicja funkcji wielu zmiennych
Niech A ⊂ Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , · · · yn ) , d(x, y) =
Definicja 6.1 (Otoczenia punktu)
Otoczeniem o promieniu r punktu P0 ∈ Rn nazywamy zbiór:
def
O(P0 , r) = {P : d(P0 , P ) 0) : O(P0 , r) ⊂ A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczamy int A i nazywamy wnętrzem tego zbioru.
Definicja 6.7 (Punktu skupienia zbioru) Punkt P0 nazywamy punktem skupienia zbioru A , jeśli
(∃ {Pn } ⊂ A, Pn = P0 ) :
lim Pn = P0
n→∞
Uwaga 6.3 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
Definicja 6.8 (Domknięcia zbioru) Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór
wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór A .
P0 ∈ A ⇔ (∃ {Pn } ⊂ A) :
lim Pn = P0
n→∞
Uwaga 6.4 Zauważmy, że A ⊂ A , ponieważ każdy element P ∈ A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego Pk = P .
36
(…)
… ∈ A} nazywamy zbiorem wartości funkcji f.
Definicja 6.4 (Wykres i poziomica funkcji)
Wykresem funkcji f : A → R jest zbiór punktów w przestrzeni Rn+1 o współrzędnych
(x1 , x2 , . . . xn , f (x1 , x2 , . . . , xn )) , (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ A.
W szczególności, wykresem funkcji dwóch zmiennych jest zbiór
W = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A, z = f (x, y) tworzący na ogół pewną powierzchnię w R3 .
Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór:
{P ∈ A : f (P ) = h}
Definicja 6.5 (Zbieżności ciągu w przestrzeni Rn )
k
k
k
Ciąg {Pk } ∈ Rn , Pk = x1 , x2 , . . . , xn
0
0
0
P0 = x1 , x2 , . . . , xn
zbiega do punktu P0 ∈ Rn
wtedy i tylko wtedy, gdy lim d(Pk , P0 ) = 0.
k→∞
k
k
k
Uwaga 6.2 Ciąg {Pk } ∈ Rn , Pk = x1 , x2 , . . . , xn
0
0
0
P0 ∈ Rn , P0 = x1 , x2 , . . . , xn
i = 1, 2, . . . , n
k…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)