To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna — wykład 2 10 pa´zdziernika 2012 Pot˛egowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w ≡ ( a 1 /q ) p. Symbol „ ≡ ” oznacza „równy z definicji”. Powy˙zsza definicja ma sens tak˙ze dla a ujemnych, je´sli q jest nieparzyste. Dla x niewymiernego mo˙zemy obliczy´c z zadan ˛ a dokładno´sci ˛ a ax znajduj ˛ ac warto´sci ax 1 , ax 2 , . . . , gdzie xk oznacza przybli˙zenie dziesi˛etne liczby x wyra˙zone dokładno- ´sci ˛ a do k miejsc po przecinku. Obliczanie kolejnych warto´sci axk nale˙zy kontynuowa´c do momentu, w którym bł ˛ ad przybli˙zenia |ax − axk | b˛edzie mniejszy ni˙z zadana liczba dodatnia. Funkcja pot˛egowa Funkcja, która przyporz ˛ adkowuje argumentowi x ∈ D , gdzie D jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego odpowiednim podzbiorem, pot˛eg˛e xp , gdzie p jest liczb ˛ a rze- czywist ˛ a, nazywamy funkcj ˛ a pot˛egow ˛ a. Zastosowania w naukach przyrodniczych Przy pewnych zało˙zeniach mo˙zna poka- za´c, ˙ze stosunek powierzchni ciała zwierz ˛ at do ich masy jest proporcjonalny do od- wrotno´sci trzeciego pierwiastka z masy (czyli do m− 1 / 3, gdzie m oznacza mas˛e zwie- rz˛ecia). Wynika st ˛ ad, ˙ze mniejsze zwierz˛eta musz ˛ a wi˛ecej wysiłku czasu wkłada´c w zdobywanie po˙zywienia ni˙z zwierz˛eta o wi˛ekszej masie — por. [Wrz08, str. 71–72]. Funkcje wielomianowe Funkjc˛e W ( x ) ≡ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a nx n nazywamy funkcj ˛ a wielomianow ˛ a. • łatwo mo˙zna obliczy´c ich warto´s´c; • mog ˛ a opisa´c bogactwo kształtów badanych obiektów — w naukach przyrodni- czych i ekonomicznych. 1 Funkcja wykładnicza Dla a dodatniego i róznego od 1 definiujemy funkcj˛e f ( x ) ≡ a x. Dziedzin ˛ a funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R. Funkcja wykładnicza jest stosowana do modelowania procesów wzrostu populacji, roz- padu promieniotwórczego itd. Funkcja logarytmiczna Logarytmem o podstawie a , 0 0 logarytm log a x . Własno´sci funkcji— parzysto´s´c,nieparzysto´s´c Definicja 1 (funkcji parzystej). Funkcja f : X → Y jest parzysta, je´sli dla ka˙zdego x ∈ X −x ∈ X oraz f ( −x ) = f ( x ) . Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy o´s
(…)
….
z
s´
• ograniczonym, je´li jest ograniczony z góry i z dołu.
s
Definicja 5 (funkcji ograniczonej). Funkcja f jest na zbiorze (b˛ dacym podzbiorem jej
e ˛
dziedziny Df :
• ograniczona z dołu, je´li jej zbiór warto´ci jest ograniczony z dołu, tj. istnieje
s
s
˙
m ∈ R taki, ze dla ka˙dego x ∈ A m f (x).
z
• ograniczona z góry, je´li jej zbiór warto´ci jest ograniczony z góry;
s
s
• ograniczona, je´li…
… jest okresowa, je´li istnieje T >
s
˙
0 takie, ze dla ka˙dego x ∈ X
z
x±T ∈X
oraz f (x + T ) = f (x).
Liczb˛ T nazywamy okresem funkcji f . Je˙eli istnieje najmniejszy okres funkcji f , to
e
z
nazywamy go okresem podstawowym.
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus sa funkcjami okresowymi. Ich okres pod˛
stawowy jest równy 2π
Definicja 4. Zbiór A ⊂ R b˛ dziemy nazywa´ :
e
c…
… funkcji odwrotnej
e
˙
Złozenie h(x) = g ◦ f (x) funkcji g(x) = log2 x, gdzie dziedzina Dg jest równa
zbiorowi liczb dodatnich i f (x) = 2x , Df = R, jest równa funkcji identyczno´ciowej:
s
h(x) = (g ◦ f )(x) = x,
Dh = R.
Uwaga Funkcja g(x) = log2 x jest funkcja odwrotna do funkcji f (x) = 2x .
˛
˛
´ s
Definicja 14 (Funkcja odwrotna do funkcji sci´le monotonicznej). Niech zbiór I b˛ e
dzie odcinkiem, półprosta lub prosta. Niech f b˛ dzie funkcja sci´le monotoniczna na
˛
˛
e
˛´ s
˛
swojej dziedzinie Df = I. Oznaczmy zbiór warto´ci funkcji f przez Y . Funkcja ods
˛
wrotna do f nazywamy funkcj˛ h spełniajaca warunki:
˛
e
˛ ˛
• dziedzina funkcji h jest równa Y ;
• zbiór warto´ci h jest równy I;
s
• dla ka˙dego y ∈ Y jest spełniony warunek: y = f (x) ⇒ x = h(y).
z
4
Funkcje elementarne
Definicja 15…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)