Wykład 2
Analiza funkcji jednej zmiennej
W niniejszym rozdziale zajmować będziemy się analizą funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Oznacza to, iż rozważamy funkcje, które posiadają tylko jeden argument, a ich wartościami są liczby
rzeczywiste.
Definicja 2.0.1. Funkcję f : X → R, gdzie X ⊂ R, X = ∅ nazywamy funkcją jednej zmiennej
rzeczywistej. W skrócie mówić będziemy o funkcji jednej zmiennej.
Istotne jest rozróżnienie wyrażeń f i f (x). f oznacza funkcję jako pewien istniejący twór algebraiczny, f (x) jest liczbą będącą wartością funkcji f w punkcie x (dla argumentu x). Oprócz słowa
funkcja używać można też pojęć odwzorowanie, przekształcenie itp.
Definicja 2.0.2. Zbiór argumentów X nazywamy dziedziną funkcji.
Często pojawiać się może w zadaniach polecenie Znaleźć dziedzinę funkcji. Oznacza to konieczność odnalezienia zbioru wszystkich możliwych liczb rzeczywistych, dla których analityczny wzór
funkcji ma sens liczbowy, tzn. istnieje wartość danej funkcji określonej konkretnym wzorem, np.
1
dla funkcji danej wzorem f (x) = zbiorem argumentów (dziedziną) jest zbiór R \ {0}.
x
Przejdźmy do określenia monotoniczności funkcji.
Definicja 2.0.3. Powiemy, że funkcja f : X → R jest
• niemalejąca, jeśli
∀x1 ,x2 ∈X x1 f (x2 )
Pojęcie monotoniczności funkcji w prostej linii prowadzi do pojęcia ekstremum lokalnego.
Definicja 2.0.4. Powiemy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x0 ∈ X
• maksimum lokalne, gdy
∃r0 ∃K(x0 ,r)⊂X ∀x∈K(x0 ,r) f (x)
f (x0 )
• maksimum lokalne właściwe, gdy
∃r0 ∃K(x0 ,r)⊂X ∀x∈K(x0 ,r)\x0 f (x) 0 ∃K(x0 ,r)⊂X ∀x∈K(x0 ,r) f (x)
f (x0 )
• minimum lokalne właściwe, gdy
∃r0 ∃K(x0 ,r)⊂X ∀x∈K(x0 ,r)\x0 f (x) f (x0 )
Pojęcie ekstremum jest pojęciem jedynie lokalnym. Globalnym odpowiednikiem jest pojęcie
wartości największej i najmniejszej na zbiorze.
Definicja 2.0.5. Powiemy, że funkcja f : X → R osiaga w punkcie x0 ∈ X
• wartość największą w zbiorze X, gdy
∀x∈X f (x)
f (x0 )
• wartość najmniejszą w zbiorze X, gdy
∀x∈X f (x)
f (x0 )
Dla każdej funkcji rzeczywistej można podać jeszcze kilka innych własności.
Definicja 2.0.6. Powiemy, że funkcja f : X → R jest różnowartościowa, jeżeli zachodzi równoważność
∀x1 ,x2 ∈X
f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒ x1 = x2
2
Definicja 2.0.7. Powiemy, że funkcja f : X → R jest okresowa, jeżeli
∃T =0 ∀x∈X
f (x + T ) = f (x)
Wówczas najmniejszą liczbę T spełniającą poniższy warunek nazywamy okresem podstawowym.
Znanymi przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne. Funkcje sin i cos mają
okres podstawowy równy 2π, a funkcje tg i ctg równy π.
Zdefiniujmy jeszcze parzystość funkcji.
Definicja 2.0.8. Powiemy, że funkcja f : X → R jest parzysta, jeśli
∀x∈X
(−x) ∈ X ∧ f (−x) = f (x)
Definicja 2.0.9. Powiemy, że funkcja f : X → R jest nieparzysta, jeśli
∀x∈X
(−x) ∈ X ∧ f (−x) = −f (x)
Przykładem funkcji parzystej może być funkcja dana wzorem f (x) = x2 , a funkcji nieparzystej
- funkcja dana wzorem f (x) = x3 . Widać, że funkcje parzyste charakteryzują się symetria wzdłuż
osi OY , a funkcje nieparzyste - względem początku układy wspołrzędnych.
Uwaga 2.0.1. Z powyższego wynika oczywiście, że istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani
nieparzyste. Można by zadać w tym miejscu pytanie o sens tego typu nazewnictwa. Pochodzi ono
z prostego faktu, iż funkcje symetryczne względem osi OY w swoim rozwinięciu w szereg Taylora
mają wyłącznie parzyste składniki, a symetryczne względem początku układu współrzędnych tylko nieparzyste składniki.
Ostatnią istotną c
(…)
… składniki.
Ostatnią istotną cechą funkcji jest jej ograniczoność.
Definicja 2.0.10. Powiemy, że funkcja f : X → R jest ograniczona, jeżeli
∃M ∈R ∀x∈X
|f (x)|
M
Zdefiniujmy teraz złożenie funkcji.
Definicja 2.0.11. Niech f : X → R, g : Y → R oraz niech f (X) ⊂ Y . Złożeniem (superpozycją)
funkcji f i g nazywamy funkcję h : X → R określoną wzorem h(x) = g(f (x)) i oznaczoną h = g ◦f .
Uwaga 2.0.2. Składanie funkcji jest działaniem łącznym (tzn. (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)), ale nie jest
przemienne (tzn. f ◦ g = g ◦ f ).
Mając określone powyższe definicje, przejdźmy do pojęcia granicy funkcji w punkcie.
3
Definicja 2.0.12. Powiemy, że liczba g ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie x0 ∈ X, jeżeli
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
Powyższa definicja oznacza, że granicą funkcji w punkcie x0 nazywamy taką wartość, że jeżeli
weźmiemy argument odpowiednio bliski (o δ) x0 i różny od niego, to jego wartość w podanej funkcji
będzie odpowiednio blisko (o ε) liczbie g. Równoważnie granicę funkcji w punkcie możemy określić
następująco.
Definicja 2.0.13. Powiemy, że liczba g ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie x0 ∈ X, jeżeli dla
każdego ciagu (xn )n∈N takiego, że xn = x0 dla każdego n ∈ N zachodzi…
… :
X → R dana wzorem f (x) = f2 (f1 (x)) jest funkcją ciągłą.
Oznacza to, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Ciągłość funkcji jest bardzo silną
własnością, pociągającą za sobą szereg konsekwencji.
Twierdzenie 2.0.6 (Własność Darboux). Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ciągłą. Wówczas
jeśli f (a) < c < f (b) (f (b) < c < f (a)) to istnieje x ∈ [a, b], że f (x) = c.
6
Własność Darboux…
… , odcinek łączący w R2 punkty (x1 , f (x1 )) i (x2 , f (x2 ))
znajduje się nad wykresem funkcji (pod wykresem funkcji).
Zajmijmy się teraz pojęciem punktu przegięcia.
Definicja 2.0.19. Powiemy, że funkcja f : (a, b) → R ma w punkcie c ∈ (a, b) punkt przegięcia,
jeżeli funkcja f jest na przedziale (a, c) wklęsła a na przedziale (c, b) wypukła lub odwrotnie - na
przedziale (a, c) wypukła a na przedziale (c, b…
… (a) · f (b) < 0. Wówczas
istnieje x ∈ [a, b], że f (x) = 0.
Innymi słowy, jeśli funkcja ciągła określona na zbiorze spójnym przyjmuje wartości różnych
znaków, wtedy posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe. Zauważmy, że ciągłość funkcji jest tu
założeniem istotnym. Jeżeli weźmiemy funkcję f daną wzorem
x<0
1
f (x) =
−1
x
0
wówczas iloczyn wartości dla dwóch argumentów różnych znaków jest oczywiście ujemny, funkcja
ta nie posiada jednak żadnego miejsca zerowego.
O innej ważnej własności funkcji ciagłych mówi następujące
Twierdzenie 2.0.9 (Weierstrassa). Jeżeli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła to istnieją x1 , x2 ∈
[a, b] takie, że
∀x∈[a,b] f (x1 )
f (x)
f (x2 )
Inaczej twierdzenie powyższe może być wyrażone następująco.
Twierdzenie 2.0.10 (Weierstrassa). Funkcja ciągła określona na zbiorze…
…) wklęsła.
Pojęcia monotoniczności funkcji oraz jej wypukłości i wklęsłości zbliżają nas do opisu geometrycznego wyglądu funkcji rzeczywistych. Wprowadzimy teraz pojęcie asymptot.
Definicja 2.0.20. Powiemy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x0 ∈ X asymptotę pionową
lewostronną postaci x = x0 , jeżeli limx→x− (f (x)) = ±∞. Powiemy, że funkcja f : X → R ma w
0
punkcie x0 ∈ X asymptotę pionową prawostronną…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)