Wykład 3
Pochodna funkcji
W poniższym podrozdziale wprowadzimy pojęcie pochodnej funkcji. Postaramy się
także pokazać wagę tego pojęcia oraz konsekwencje wynikające z istnienia funkcji
pochodnej.
Definicja 3.0.1. Wyrażenie postaci
f (x) − f (x0 )
x − x0
lub analogicznie
f (x0 + h) − f (x0 )
h
nazywamy ilorazem różnicowym w punkcie x0 . Powiemy, że funkcja f posiada pochodną w punkcie x0 lub że jest różniczkowalna w punkcie x0 jeżeli istnieje skończona
granica ilorazu różnicowego przy (w pierwszym przypadku) x dążącym do x0 lub (w
drugim przypadku) h dążącym do 0. Oznaczamy wartość tejże pochodnej w punkcie
x0 jako f (x0 ). Mamy zatem
lim
x→x
0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
= f (x0 )
h→0
x − x0
h
Powiemy, że funkcja f : X → R jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w
każdym punkcie zbioru X. Funkcję f , która każdemu punktowi przypisuje wartość
1
pochodnej funkcji f w tym punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji f . Operację
obliczania pochodnej funkcji różniczkowalnej nazywamy różniczkowaniem.
Uwaga 3.0.1. W literaturze oprócz f (x) funkcjonują jeszcze inne oznaczenia. Można
spotkać się z oznaczeniem fx , fx ,
(x)
df
(x), dfdx .
dx
Wszystkie one oznaczają jednak to
samo - pochodną funkcji jednej zmiennej f w punkcie x.
Z powyższej definicji wynika kilka faktów. Po pierwsze, jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x0 to punkt x0 jest punktem skupienia zbioru X. Po drugie, jeżeli punkt
jest krańcem przedziału określoności funkcji f to jako pochodną przyjąc możemy jedynie jednostronną granicę ilorazy różnicowego w punkcie. Aby funkcja posiadała
zatem pochodną, musi być określona w pewnym otoczeniu punktu. Konsekwencją
definicji 3.0.1 jest też
Twierdzenie 3.0.1 (Warunek konieczny różniczkowalności). Jeżeli funkcja
f posiada pochodną w punkcie x0 to jest w tym punkcie ciągła. Jeżeli funkcja jest
różniczkowalna, to jest ciągła.
Obliczanie pochodnej, na szczęście, nie koniecznie musi być związane z koniecznością liczenia granicy ilorazu różnicowego w punkcie. Pomocne są tu twierdzenia,
których znajomość upraszcza proces liczenia pochodnej funkcji elementarnych.
Twierdzenie 3.0.2. Jeżeli funkcje f1 , f2 : X → R są różniczkowalne to ich złożenie,
suma, róznica, iloczyn i iloraz (przy dodatkowym założeniu, że f2 (x) = 0) też jest
różniczkowalny, przy czym:
• (f1 ◦ f2 ) (x) = f1 (f2 (x)) · f2 (x)
• (f1 + f2 ) (x) = f1 (x) + f2 (x)
• (f1 − f2 ) (x) = f1 (x) − f2 (x)
• (f1 · f2 ) (x) = f1 (x) · f2 (x) + f1 (x) · f2 (x)
f1
• ( f2 ) (x) =
f1 (x)·f2 (x)−f1 (x)·f2 (x)
(f2 (x))2
2
Powyższe twierdzenie oznacza w szczególności, że funkcja pochodna sumy funkcji
jest sumą funkcji pochodnych tych funkcji i tak dalej. Wartości funkcji pochodnych
odnajdziemy wykorzystując następujące
• (c) = 0 dla c ∈ R
Twierdzenie 3.0.3.
• (ax) = a dla a ∈ R i x ∈ R
• (xn ) = nxn−1 dla n ∈ N i x ∈ R
• (xn ) = nxn−1 dla n ∈ Z i x ∈ R \ {0}
• (xa ) = axa−1 dla a ∈ R i x ∈ (0, +∞)
• (ax ) = ax ln(a) dla a ∈ (0, +∞) i x ∈ R
• (ex ) = ex dla x ∈ R
• (loga (x)) =
• (ln(x)) =
1
x
1
xln(a)
dla a ∈ (0, +∞) \ {1} i x ∈ (0, +∞)
dla x ∈ (0, +∞)
• (sin(x)) = cos(x) dla x ∈ R
• (cos(x)) = −sin(x) dla x ∈ R
• (tg(x)) =
1
cos2 (x)
dla x ∈ R \ { π + kπ}, k ∈ Z
2
• (ctg(x)) = − sin1(x) dla x ∈ R \ {kπ}, k ∈ Z
2
• (arcsin(x)) =
√ 1
1−x2
dla x ∈ (−1, 1)
1
• (arccos(x)) = − √1−x2 dla x ∈ (−1, 1)
• (arctg(x)) =
1
1+x2
dla x ∈ R
1
• (arcctg(x)) = − 1+x2 dla x ∈ R
3
Pochodna ma szeroki
(…)
… jest wypukła
w (a, b). f (x)
0 dla wszystkich x ∈ (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest
wklęsła w (a, b).
6
Mając powyższe twierdzenie, możemy sformułować
Twierdzenie 3.0.10 (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli f ma w x0 punkt przegięcia, to f (x0 ) = 0.
Analogicznie jak w przypadku istnienia ekstremu, podać możemy
Twierdzenie 3.0.11 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia).
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją ciągłą oraz dwukrotnie różniczkowalną w zbiorze
(a, b) \ {x0 }. Jeżeli f (x)
0 w lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 oraz f (x)
w prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 lub f (x)
punktu x0 oraz f (x)
0
0 w lewostronnym sąsiedztwie
0 w prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 , to funkcja f
posiada w punkcie x0 punkt przegięcia.
7
Bibliografia
[1] Chądzyński J., (1994), Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, WUŁ,
Łódź.
[2] Krasiński T., Analiza matematyczna - funkcje jednej zmiennej, WUŁ, Łódź.
[3] Mostowski A., Stark M. (1974), Algebra liniowa, PWN, Warszawa.
[4] Opial Z. (1976), Algebra wyższa, PWN, Warszawa.
[5] Palczewski A. (2004), Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa.
[6] Pelczar A., Szarski J. (1987…
… - tego rzędu w punkcie x0 oznaczać będziemy przez f (n) (x0 ), a funkcję
pochodną drugiego rzędu przez f (n) . Mając te określenia, możemy zdefiniować pojęcie
klasy funkcji.
5
Definicja 3.0.4. Powiemy, że funkcja f : X → R jest klasy C n , jeżeli posiada
pochodną do n - tego rzędu włącznie, a punkcja pochodna f (n) jest funkcją ciągłą.
Nawiązując do zdefiniowanego wcześniej w twierdzeniu 3.0.6 warunku…
…), Wstęp do teorii równań różniczkowych, PWN,
Warszawa.
[7] Rasiowa H. (1971), Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa.
[8] Rudin, W. (2001), Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa.
8
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)