Twierdzenie 6.8 (Taylora)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie na pewnym
otoczeniu O(P0 ), P0 = (x0 , y0 ), to dla dowolnego punktu P (x, y) ∈ O(P0 ) istnieje taka
liczba Θ ∈ (0, 1), że
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) +
1 2
d f (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y)
2
Dowód:
Oznaczymy ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 i wprowadzimy funkcję pomocniczą
Φ(t) = f (x0 + t ∆x, y0 + t ∆y).
Mamy: Φ(0) = f (x0 , y0 ), Φ(1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y). Funkcja Φ jest klasy C 2 i
z twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej 4.9 otrzymujemy:
∃Θ ∈ (0, 1) : Φ(1) = Φ(0) + Φ′ (0) +
1
Φ”(Θ)
2!
(9)
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy
Φ′ (t) =
Φ”(t) =
∂f
∂f
(x0 + t∆x, y0 + t∆y) ∆x +
(x0 + t∆x, y0 + t∆y)∆y
∂x
∂y
∂2f
∂2f
∂2f
(x0 +t∆x, y0 +t∆y)∆x2 +2
(x0 +t∆x, y0 +t∆y)∆x ∆y+ 2 (x0 +t∆x, y0 +t∆y)∆y 2
∂x2
∂x∂y
∂y
Stąd
Φ′ (0) = df (x0 , y0 )(∆x, ∆y)
Φ”(Θ) =
∂2f
∂x2 (x0
2
∂ f
+ Θ ∆x, y0 + Θ ∆y) ∆x2 + 2 ∂x∂y (x0 + Θ ∆x, y0 + Θ ∆y) ∆x ∆y +
2
+ ∂ f (x0 + Θ ∆x, y0 + Θ ∆y) ∆y 2 = d2 f (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y)
∂y 2
Stosując wzór (9) otrzymujemy tezę:
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) +
1 2
d f (x0 + Θ∆x, y0 + Θ∆y)(∆x, ∆y)
2
♥
6.10
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A → R , A ⊂ Rn oraz punkt P0 ∈ intA.
Definicja 6.24 (Maksimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P0 )
takie, że dla dowolnego punktu P ∈ O(P0 ) zachodzi nierówność:
f (P ) − f (P0 )
0
Definicja 6.25 (Minimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P0 )
takie, że dla dowolnego punktu P ∈ O(P0 ) zachodzi nierówność:
f (P ) − f (P0 )
44
0
Uwaga 6.16 Jeżeli zamiast nierówności słabych występujących w definicji spełnione są
nierówności silne, to ekstrema nazywamy właściwymi.
Przykład 6.13 Korzystając z definicji sprawdzić, czy funkcja ma ekstremum lokalne w
punkcie (0,0):
1. f (x, y) = 2 − (x2 + y 4 )
2. f (x, y) = x4 − y 4
Twierdzenie 6.9 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w punkcie P0 ,
2. istnieją pochodne cząstkowe
∂f
∂xi (P0 )
to (∀i = 1, . . . , n)
∂f
∂xi (P0 ) (
i = 1, . . . , n),
=0
Przykład 6.14 Sprawdzić, że funkcje: f (x, y) = x2 − y 2 , f (x, y) = x3 + y 3 spełniają w
punkcie (0,0) warunek konieczny, ale nie mają w tym punkcie ekstremum.
Wniosek 6.2 (O lokalizacji ekstremów lokalnych)
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero albo w punktach, w których choć jedna z nich nie
istnieje.
Uwaga 6.17 Niech funkcja f : A → R , A ⊂ R2 jest klasy C 2 na A. Wtedy wyznacznik
określony następująco:
W (x, y) = det
∂2f
∂x∂y (x, y)
∂2f
∂y 2 (x, y)
∂2f
∂x2 (x, y)
∂2f
∂y∂x (x, y)
jest funkcją ciągłą. Z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku wynika, że jeżeli dla pewnego punktu P0 (x0 , y0 ) ∈ intA wyznacznik W (x0 , y0 ) 0 , to istnieje takie otoczenie
O(P0 ), że
(∀P (x, y) ∈ O(P0 )) W (x, y) 0
Twierdzenie 6.10 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu
P0 (x0 , y0 ) oraz niech
1.
∂f
∂x (x0 , y0 )
= 0,
∂f
∂y (x0 , y0 )
2. W (x0 , y0 ) = det
= 0,
∂2f
∂x2 (x0 , y0 )
∂2f
∂y∂x (x0 , y0 )
∂2f
∂x∂y (x0 , y0 )
∂2f
∂y 2 (x0 , y0 )
45
0
Wtedy w punkcie P0 (x0 , y0 ) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe i jest to:
2
2
minimum, gdy ∂ f (x0 , y0 ) 0 , albo maksimum, gdy ∂ f (x0 , y0 ) 0 (forma kwadratowa dodatnio
∂x2
określona)
2
i ujemny, gdy ∂ f (x0 , y0 )
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)