Fragment notatki:
VIII. Rachunek różniczkowy
1. Pochodna funkcji
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U (x0 , δ) = (x0 − δ, x0 + δ) punktu x0 .
Przez x1 oznaczmy dowolny punkt tego otoczenia. Oczywiście x1 = x0 + h, gdzie h ∈ (−δ, δ).
Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x0 i x1 nazywamy wyrażenie
(1)
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x1 ) − f (x0 )
=
x1 − x0
h
dla
h = 0.
Iloraz różnicowy jest tangensem kąta BAC nachylenia prostej AB do osi x, czyli współczynnikiem kierunkowym siecznej AB. Równanie siecznej AB łączącej punkty A = (x0 , f (x0 )) oraz
B = (x1 , f (x1 )) wykresu funkcji f ma postać
y − f (x0 ) =
y
f (x1 ) − f (x0 )
(x − x0 ).
x1 − x0
¨
¨¨
¨
¨¨
T
B
A
¨¨
r¨
¨¨'
¨
¨¨
¨
¨¨
¨
¨¨
r¨
¨¨ T
f (x1 ) − f (x0 )
C
c
E
x1 − x0
E
x0
x1
x
Definicja 2. Jeśli iloraz różnicowy (1) ma granicę właściwą, gdy h → 0, czyli gdy x1 → x0 , to
granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f (x0 ). Zatem
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x1 ) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
= lim
.
x1 →x0
x→x0
h→0
h
x1 − x0
x − x0
f (x0 ) = lim
O funkcji f mówimy wtedy, że jest różniczkowalna w punkcie x0 .
Jeżeli iloraz różnicowy nie ma granicy w x0 , lub ma granię niewłaściwą, to mówimy, że funkcja
f nie jest różniczkowalna w punkcie x0 . Funkcję różniczkowalną w każdym punkcie x0 zbioru X
nazywamy różniczkowalną w tym zbiorze.
Sens geometryczny pochodnej w punkcie x0 można odczytać z poniższego rysunku.
VIII. Rachunek różniczkowy
y
T
¨
¨¨
¨
A α
¨
¨r¨
¨
¨¨
¨
¨¨
¨
¨
¨¨
¨
B
¨
r
¨¨
¨¨
E
x0
x1
x
Gdy punkt B na krzywej y = f (x) zbliża się do punktu A = (x0 , f (x0 )), to sieczna AB obraca
sie dokoła A zbliżając się do prostej
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ).
Prostą tę nazywać będziemy styczną do wykresu funkcji f w punkcie x0 .
Pochodna f (x0 ) jest równa tangensowi kąta α, jaki styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0
tworzy z dodatnim kierunkiem osi x.
√
Przykład 1. Rozważmy funkcję f (x) = x, x ∈ 0, +∞). W punkcie x0 = 4 mamy f (x0 ) = 2 i
√
x−4
f (x) − f (x0 )
x−2
1
1
√
= lim
= lim
lim
= lim √
= .
x→x0
x→4 x − 4
x→4 (x − 4)( x + 2)
x→4
x − x0
4
x+2
Zatem istnieje pochodna f (4) = 1 . Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 = 4 ma
4
postać
1
y − 2 = (x − 4).
4
W punkcie x0 = 0 mamy f (x0 ) = 0 i
√
√
1
x−0
x
f (x) − f (x0 )
= lim
= lim
= lim √ = +∞.
lim
x→x0
x→0 x − 0
x→0 x
x→0
x − x0
x
Zatem funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0.
Definicja 3. Pochodną lewostronną i prawostronną funkcji f w punkcie x0 nazywamy odpowiednio
f− (x0 ) = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
f+ (x0 ) = lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Twierdzenie 1. Na to, aby funkcja f miała pochodną w punkcie x0 potrzeba i wystarcza, aby istniały
w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były sobie równe.
Przykład 2. Funkcja
f (x) =
x2
x3
dla x 0 dla
arctg : R → (− π , π )
2 2
jest różniczkowalna w R i jej pochodna wyraża się wzorem
arctg (y) =
=
1
=
f (arctg y)
1
1
cos2 (arctg y)
1
sin2 (arctg y)
cos2 (arctg y)
=
+1
= cos2 (arctg y) =
1
tg2 (arctg y)
+1
=
y2
cos2 (arctg y)
=
sin2 (arctg y) + cos2 (arctg y)
1
.
+1
Twierdzenie 6 (Rolle’a o wartości średniej). Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
1) funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym a, b ,
2) funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b),
3) f (a) = f (b),
to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f (c) = 0.
Przykład 13. Łatwo zauważyć, że funkcja f (x) = x cos x, x ∈ 0, π jest ciągła w przedziale 0, π
2
2
i różniczkowalna w przedziale (0, π ). Ponadto f (0) = f π i
2
2
f (x) = cos x − x sin x.
Zatem na podstawie twierdzenia Rolle’a istnieje liczba c ∈ (0, π ) taka, że f (c) = 0. To oznacza, że
2
c jest rozwiązaniem równania
cos x = x sin x
w przedziale (0, π ).
2
Twierdzenie 7 (Lagrange’a o wartości średniej). Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
1) funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym a, b ,
2) funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b),
to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
Przykład 14. Rozważmy funkcję
ln x
,
x ∈ (0, +∞).
x
Funkcja ta jest różniczkowalna jako iloraz funkcji różniczkowalnych i ze wzoru na pochodną ilorazu
funkcji otrzymujemy, że
1 − ln x
f (x) =
,
x ∈ (0, +∞).
x2
Stąd, jeśli tylko x e, to ln x 1, a więc f (x) a.
Ponieważ w przedziale , a, b spełnione sa wszystkie założenia twierdzenia Lagrange’a, to istnieje
liczba c ∈ (a, b) taka, że
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
f (x) =
Ponieważ c ∈ (e, +∞), to f (c) 0 dla każdego x ∈ I, to f jest funkcją ściśle rosnącą w przedziale I,
3) Jeśli f (x) n
f (n) (x) =
f (x) = cos x,
f (n) (x) = cos(x + π n)
2
f (x) = xk , k = n
f (n) (x) = k!
f (n) (x) = (−1)n−1 (n−1)!
xn
1
f (x) = x , x = 0
n!
f (n) (x) = (−1)n xn+1
f (x) = ln x, x 0
√
f (x) = x, x 0
f (x) = ex ,
f (n) (x) = ex
f (x) = ax
f (n) (x) = ax · (ln a)n
k!
k−n
(k−n)! x
f (n) (x) =
(−1)n−1 ·(2n−1)!
√ 1
22n−1 ·(n−1)!
x2n−1
Twierdzenie 9 (wzór Taylora). Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
1) funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym x0 , x ,
2) funkcja f ma ciągłą pochodną do rzędu n − 1 włącznie w przedziale domkniętym x0 , x ,
3) funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale otwartym (x0 , x),
to istnieje taki punkt c ∈ (x0 , x), że zachodzi następujący wzór (zwany wzorem Taylora)
f (x) = f (x0 ) +
f (x0 )
f (x0 )
f (n−1) (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + . . . +
(x − x0 )n−1 + Rn ,
1!
2!
(n − 1)!
gdzie wyrażenie Rn (zwane resztą we wzorze Taylora) jest równe
f (n) (c)
(x − x0 )n .
n!
Uwaga 4. Resztę Rn we wzorze Taylora można zapisać również w postaci Lagrange’a
Rn =
f (n) (x0 + θ(x − x0 ))
(x − x0 )n , gdzie θ ∈ (0, 1).
n!
Uwaga 5. W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 otrzymujemy wzór
Rn =
f (x) = f (0) +
f (0)
f (0) 2
f (n−1) (0) n−1
x+
x + ... +
x
+ Rn ,
1!
2!
(n − 1)!
gdzie
f (n) (θx) n
x , θ ∈ (0, 1).
n!
Wzór ten nazywamy wzorem Maclaurina. Pomijając Rn otrzymujemy wzór przybliżony
Rn =
f (x) ≈ f (0) +
f (0)
f (0) 2
f (n−1) (0) n−1
x+
x + ... +
x
.
1!
2!
(n − 1)!
63
VIII. Rachunek różniczkowy
Przykład 16. Ponieważ funkcja f (x) = ex , x ∈ R jest n krotnie różniczkowalna i f (n) (x) = ex , to
wzór Maclaurina dla funkcji f przyjmuje postać
ex = 1 +
1
1
1
eθx n
x + x2 + . . . +
xn−1 +
x ,
1!
2!
(n − 1)!
n!
gdzie θ ∈ (0, 1). Stąd
ex − Wn−1 (x) =
eθx n
x
n!
1
1
1
gdzie Wn−1 (x) = 1 + 1! x + 2! x2 + . . . + (n−1)! xn−1 i ciąg Rn =
x ∈ R. Istotnie,
Rn+1
lim
= lim
n→∞
n→∞
Rn
eθx
n+1
(n+1)! |x|
eθx
n
n! |x|
eθx n
n! x
jest zbieżny do zera dla każdego
|x|
= 0 0 dla każdego x ∈ (x0 , x0 + δ),
2) f (x) 0 dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 ) i f (x) 0 ⇔ x ∈ (−2, 2)
f (x) 0 ⇔ x ∈ (0, +∞)
i
f (x) 0,
2) f (x0 ) = 0 i f (x0 ) 0.
4
4
Zatem na podstawie warunku wystarczającego ekstremum w punkcie x1 = −1 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe równe
f (x1 ) = −1 − 2 arctg(−1) = −1 − 2 −
π
π
= −1 + ,
4
2
a w punkcie x2 = 1 funkcja f ma minimum lokalne właściwe równe
f (x2 ) = 1 − 2 arctg 1 = 1 − 2
π
π
=1− .
4
2
Zauważmy, że w powyższym przykładzie ekstrema lokalne można równie łatwo wyznaczyć korzystając ze znaku pierwszej pochodnej. Nieraz jednak o wiele prościej skorzystać z drugiej pochodnej.
Przykład 23. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji
1
f (x) = x − sin x,
2
x ∈ (0, π).
66
VIII. Rachunek różniczkowy
Funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna i jej pochodne są równe
1
− cos x
2
f (x) = sin x.
f (x) =
Miejscem zerowym pierwszej pochodnej w przedziale (0, π) jest x0 = π . Wartość drugiej pochodnej
3
w tym punkcie wynosi f (x0 ) = sin π =
3
f(π)
3
=
π
6
− sin
π
3
=
π
6
√
−
√
3
2
0. Zatem f ma w x0 minimum lokalne równe
3
2 .
5. Wklęsłość, wypukłość i punkty przegięcia wykresu funkcji
Definicja 6. Wykres funkcji f nazywamy wypukłym (wklęsłym) w punkcie x0 , jeżeli istnieje takie
sąsiedztwo S(x0 , δ) punktu x0 , że dla każdego x ∈ S(x0 , δ) punkty P = (x, f (x)) wykresu leżą
powyżej (poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu w punkcie (x0 , f (x0 )).
Wykres funkcji f wypukły (wklęsły) w każdym punkcie x ∈ (a, b) nazywamy wypukłym (wklęsłym) w przedziale (a, b).
Twierdzenie 13. Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) i f (x) 0
(odpowiednio f (x) 0 dla każdego x ∈ (x0 , x0 + δ),
2) f (x) 0 dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 ) i f (x) 0 dla x ∈ (0, +∞). Zatem wykres funkcji f jest wklęsły w przedziale (−∞, 0) i wypukły w
przedziale (0, +∞). W punkcie x0 = 0 wykres funkcji f ma punkt przegięcia.
67
(…)
….
x−0
x→0+ x
Przykład 4. Niech c będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Funkcja stała f (x) = c, x ∈ R jest różniczkowalna w każdym punkcie x0 ∈ R oraz
f (x0 ) = lim
x→x0
c−c
f (x) − f (x0 )
= lim
= lim 0 = 0.
x→x0 x − x0
x→x0
x − x0
Przykład 5. Funkcja f (x) = x3 , x ∈ R jest różniczkowalna w każdym punkcie x0 ∈ R oraz
f (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x3 − x3
0
= lim
= lim (x2 + xx0 + x2 ) = 3x2 .
0
0…
…
w przedziale (e, +∞) funkcja f jest ściśle malejąca.
61
VIII. Rachunek różniczkowy
Wniosek 3. Niech f będzie funkcją określoną i różniczkowalną w przedziale I.
1) Jeśli f (x) = 0 dla każdego x ∈ I, to f jest funkcją stałą w przedziale I,
2) Jeśli f (x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest funkcją ściśle rosnącą w przedziale I,
3) Jeśli f (x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest funkcją ściśle malejącą w przedziale…
…. Obliczymy pochodną funkcji f (x) = ln(cos x), x ∈ (− π , π ).
2 2
f (x) =
sin x
1
· sin x =
= tg x.
cos x
cos x
60
VIII. Rachunek różniczkowy
Twierdzenie 5 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja f jest ciągła i monotoniczna w
przedziale I ⊂ R oraz różniczkowalna w pewnym punkcie x0 ∈ I, przy czym f (x0 ) = 0, to funkcja
f −1 do niej odwrotna jest różniczkowalna w punkcie y0 = f (x0 ) i
(f −1 ) (y0…
… lub niewłaściwa),
g
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
to istnieje granica lim
(odpowiednio właściwa lub niewłaściwa) i zachodzi równość
lim
x→x0
f (x)
f (x)
= lim
.
g(x) x→x0 g (x)
Uwaga 3. Reguła de l’Hospitala pozostaje w mocy dla granic jednostronnych oraz dla granic funkcji, gdy x → −∞ lub x → +∞. Należy tylko wtedy sąsiedztwo S(x0 , δ) zastąpić sąsiedztwem
jednostronnym (x0 − δ, x0 ) albo (x0 , x0 + δ) i odpowiednio…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)