To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4. Przy dodatkowym założeniu , że (∀x ∈ A , g(x) = 0) oraz lim g(x) = 0 istnieje
x→x0
granica ilorazu tych funkcji i równa się ilorazowi granic
lim
x→x0
lim f (x)
f (x)
x→x0
=
g(x)
lim g(x)
x→x0
Uwaga 3.5 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych funkcji
w punkcie x0 oraz w −∞ lub +∞
Przykład 3.16 Znaleźć granice
• lim cos x + tg x
x
x→0
sin 5x
x→0 sin 7x
√
3 x−4
lim 8−√x
x→64
• lim
•
3.3
Ciągłość funkcji
Rozpatrujemy funkcję f : A → R , gdzie A ⊂ R i x0 ∈ A jest punktem skupienia
zbioru A.
Definicja 3.21 ( Ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ A , jeżeli istnieje granica lim f (x) oraz
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Uwaga 3.6 Ciągłość funkcji w x0 ∈ A oznacza:
(∀ {xn } ⊂ A)
lim xn = x0 ⇒ lim f (x) = f (x0 )
n→∞
x→x0
i jest równoważna warunkowi:
(∀ε 0) (∃ δ(ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A)[ |x − x0 | → R na przedziale domkniętym oznacza w szczególności , że lim f (x) = f (a) i lim f (x) = f (b) .
x→a+
x→b−
Przykład 3.17
Wykazać , że funkcja f (x) = sin x jest ciągła na R.
Dowód: Niech x0 będzie dowolnym punktem i x0 ∈ R . Ze wzoru na różnicę sinusów
sin x − sin x0 = 2 sin
16
x + x0
x − x0
cos
2
2
oraz własności | sin x−x0 |
2
| x−x0 | i | cos x+x0 |
2
2
| sin x − sin x0 |
1 otrzymujemy oszacowanie
|x − x0 |
Wtedy dla dowolnej liczby ε 0 wystarczy wziąć δ = ε , aby otrzymać implikację
|x − x0 | 0
stosowana w mechanice i teorii sprężystości ma punkt nieciągłości I rodzaju w punkcie
x0 = 0 .
1
x
dla x ∈ R \ {0}
,
0 dla x = 0
ma punkt nieciągłości x0 = 0 II rodzaju.
Przykład 3.22 Funkcja f (x) =
Twierdzenie 3.6 ( O ciągłości funkcji odwrotnej)
O ile istnieje funkcja odwrotna do funkcji ciągłej określonej na , to jest ona funkcją
ciągłą.
Przykład 3.23 Funkcja f (x) = arc sin x , x ∈ −1, 1 jest ciągła.
3.4
Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f : A → R jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym
A = a, b , to jest funkcją ograniczoną na A i istnieją punkty x1 , x2 ∈ A takie, że
f (x1 ) = inf f (x) ,
x∈A
f (x2 ) = sup f (x)
x∈A
Twierdzenie 3.8 ( O lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli f : A → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ A i f (x0 ) 0 , to
(∃δ 0) (∀x ∈ A) [|x − x0 | 0]
(Jeżeli f (x0 ) 0) (∀x ∈ A) [|x − x0 | → R jest ciągła na przedziale , f (a) = f (b) , a liczba r jest
zawarta między liczbami f (a), f (b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = r.
Wniosek 3.1 Jeżeli f :→ R jest ciągła na przedziale oraz
f (a)f (b) , pierwiastek
rzeczywisty różny od zera .
Przykład 3.25 Znaleźć rozwiązanie równania 4x = x2 na przedziale (-1,0) z dokładno1
ścią do 8 .
Przykład 3.26 Wykazać, że przez dowolny punkt wewnętrzny wielokąta wypukłego można
przeprowadzić sieczną w ten sposób, aby punkt ten był jej środkiem.
18
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)