Ekstrema funkcji - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 616
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ekstrema funkcji - omówienie  - strona 1 Ekstrema funkcji - omówienie  - strona 2

Fragment notatki:

Przykład 4.22 Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de l’Hospitala?
a) lim
x→∞
x + cos2x
x − cosx
1
x2 sin x
x→0 sinx
b) lim
Inne typy nieoznaczoność: 0 · ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞
Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu f (x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to
mówimy o nieoznaczoności (0 · ∞) . Jeśli w wyrażeniu f (x) − g(x) obydwie funkcje dążą
do +∞ lub −∞ , to nieoznaczoność jest typu ( ∞ − ∞ ). W wyrażeniach postaci f (x)g(x)
występują nieoznaczoności typu 00 , ∞0 , 1∞ .
Uwaga 4.7 Przy badaniu granic wyrażeń postaci f (x)g(x) , f (x) 0 należy skorzystać
z tożsamości
f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Przykład 4.23 Znaleźć granice:
1. lim x ln x
x→0+
2. lim
x→0
1
x2

sin x
x3
3. lim xx
x→0+
4. lim (ctg x)x
x→0+
5. lim
x→∞
4.5
2
π
arctgx
x
Ekstrema funkcji
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Definicja 4.10
• Funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego
punktu (x0 − δ, x0 + δ), δ 0 , że dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 , x0 + δ)
f (x0 )
f (x)
(3)
• Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie
punktu (x0 − δ, x0 + δ), δ 0 , że dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 , x0 + δ)
f (x0 )
f (x)
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Jeżeli nierówności są ostre, to ekstema lokalne nazywamy właściwymi.
27
(4)
Twierdzenie 4.12 (Lemat Fermata)
Niech funkcja f :→ R osiąga w punkcie c ∈ (a, b) ekstremum lokalne oraz istnieje
pochodna f ′ (c) . Wtedy f ′ (c) = 0.
Dowód:
Niech f (c) będzie maksimum lokalnym funkcji f . Wtedy istnieje taki przedział
(c − δ, c + δ) , δ 0 , że dla każdego x ∈ (c − δ, c + δ) , f (c) f (x).
W punkcie c funkcja ma pochodną, więc


f ′ (c) = f+ (c) = f− (c)
Dla x c mamy
f (x)−f (c)
x−c
0 . Stąd lim
x→c+
f (x)−f (c)
x−c

= f+ (c)
Analogicznie, dla x x0 , to
funkcja f osiąga w x0 minimum lokalne.
Jeżeli f ′ (x) 0 dla x x0 , to funkcja f osiąga w x0
maximum lokalne.
Dowód: wynika z Definicji ekstremum 4.10 i Wniosku 4.3.
Ekstrema właściwe są osiągane wtedy, gdy nierówności (3), (4) są ostre.
Przykład 4.24 Zbadać istnienie extremów lokalnych funkcji:
f (x) = | ln x| ,
g(x) = e−|x|
Twierdzenie 4.14 ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli f ∈ C 2 ( a, b ), x0 ∈ (a, b) i f ′ (x0 ) = 0 oraz f ′′ (x0 ) = 0 , to funkcja f osiąga w
punkcje x0
• minimum lokalne właściwe, gdy f ′′ (x0 ) 0 ,
• maksimum lokalne właściwe, gdy f ′′ (x0 ) 0 . Na mocy Twierdzenia3.8 o lokalnym zachowaniu znaku istnieje δ 0 ,
takie, że dla x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) f ′′ (x) 0 .
Na mocy Twierdzenia Taylora 4.9 dla n = 1 , mamy
f (x) = f (x0 ) +
f ′′ (c)
f ′ (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 , gdzie c ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
1!
2!
′′
(c)
Wykorzystując warunek f ′ (x0 ) = 0 , otrzymujemy f (x) − f (x0 ) = f 2! (x − x0 )2 .
Z założenia f ′′ (c) 0, więc f (x) − f (x0 ) 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), x = x0 .
Oznacza to, że w punkcie x0 funkcja f osiąga minimum lokalne właściwe.
Dowód dla maksimum jest analogiczny.
28
(5)


(…)

… nazywamy punktami stacjonarnymi.
Zbiór punktów w których funkcja może osiągać ekstrema składa się z punktów stacjonarnych i tych, w których pierwsza pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 4.13 ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a, b), ma pochodną w (a, x0 ) ∪ (x0 , b) i istnieje
pewne otoczenie punktu x0 , w którym f ′ (x) 0 dla x < x0 i f ′ (x…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz