To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2
Ciągi liczbowe
Definicja 2.1 (Ciągi liczbowe) Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb (rzeczywistych, zespolonych), czyli f : N → R
lub f : N → C .
Tradycyjnie elementy ciągu oznacza się an = f (n) , a ciąg {an }∞ lub {an } .
n=1
Definicja 2.2 (Ciąg ograniczony) Ciąg liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym,
jeżeli zbiór jego wartości {an } ; n ∈ N jest zbiorem ograniczonym w R.
Definicja 2.3 (Granica ciągu liczbowego)
lim an = g ⇔ (∀ε 0)(∃nε ∈ N )(∀n nε ) |an − g| 0)(∃nε )(∀n nε ) |bn | 0)(∃nε )(∀n nε ) |an | 0) lim
n→∞
√
n
a = 1.
5
√
n
2n
n(n − 1)
n = 1.
Dowód: Dla a
1 równość wynika z poprzedniego przykładu i twierdzenia o trzech
ciągach, ponieważ nierówności
√
√
n
n
1
a
n
są prawdziwe dla n
a.
Dla 0 1 , a więc z pierwszej części dowodu lim
n→∞
n
1
a
= 1 , skąd
n→∞
♥
Przykład 2.5 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:
1. lim
√
n
2. lim
√
n
n→∞
n→∞
3. lim
n→∞
3n + 4n
8n − 4n
1
n2 +1
+
1
n2 +2
··· +
1
n2 +n
Lemat 2.3 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dowód: Niech ciąg będzie niemalejący, tzn.
(∀n ∈ N ) an
an+1
Zbiór wyrazów ciągu{an } jest ograniczony, a więc istnieje a = sup{an : n ∈ N } .
Na mocy definicji supremum mamy
(∀n ∈ N ) an
a oraz (∀ε 0)(∃anε ) a − ε nε ) an
anε , a więc
(∀ε 0)(∃nε )(∀n nε ) a − ε 1 + mx , gdzie m 1, m ∈ N oraz x −1, x = 0. Przyjmujemy:
(1 + x)
1
m = n + 1 , x = − (n+1)2 i otrzymujemy:
1
1 + n+1
an+1
=
1
an
1+ n
n+1
=
n
n+1
n+1
1
1−
n
(n + 1)2
n+1
n+1
1−
n
(n + 1)2
=1
Zatem ciąg jest rosnący.
Ciąg jest ograniczony i monotoniczny, więc zbieżny.
♥
Uwaga 2.2 Ciąg
1+
1
n
n ∞
n=1
jest rosnący, więc
(∀n ∈ N )
1+
1
n
Uwaga 2.3 Analogicznie można wykazać, że ciąg
n
e
nu ) an u
2. Mówimy, że ciąg {an } jest rozbieżny do −∞ i zapisujemy lim an = −∞ jeśli
n→∞
(∀ u ∈ R) (∃ nu ∈ N ) (∀ n nu ) an k i odrzućmy wszystkie składniki,
1
które występują po wyrażeniu zawierającym k! . Dostaniemy prawdziwą dla wszystkich
n k nierówność
xn 2 +
1
2!
1−
1
n
1
+ k! 1 −
+
1
n
1
3!
1−
1−
2
n
1
n
1−
... 1 −
2
n
+ ...
k−1
n
Przechodząc z n do nieskończoności, przy ustalonym k , dostajemy nierówność
e
2+
1
1
+ ... +
2!
k!
8
(…)
… , a więc
(∀ε > 0)(∃nε )(∀n > nε ) a − ε < an
a<a+ε
a to oznacza, że lim an = a .
n→∞
Dla ciągu nierosnącego dowód jest analogiczny.
♥
Przykład 2.6 Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu zadanego rekurencyjnie
√
√
a1 = 2 , an+1 = 2 + an , n ∈ N
n
1
Przykład 2.7 (Liczba e ) Ciąg o wyrazach an = 1 + n
jest zbieżny. Granicę tego
ciągu nazywa się stałą Eulera i oznacza e . Jest ona podstawą logarytmów naturalnych. W
przybliżeniu e = 2 , 71828 . . .
Dowód zbieżności:
6
1. Ciąg
1+
1
n
n ∞
n=1
jest ograniczony.
an = 1 +
n
1
n
=1+
1
1−
1− n
=2+
+
2!
Stąd
1
n
3!
n 1
n 1
n 1
+
+ ... +
=
2
1 n
2 n
n nn
1−
2
n
1
1
1
+ + ... +
2! 3!
n!
an < 3 .
i mamy (∀n) 2
+ ... +
2+
2+
an
1
n
1−
... 1 −
n−1
n
n!
1
1
1
1
+
+ ... + n = 3 − n
2 22
2
2
n ∞
1
2. Ciąg
jest monotoniczny. Skorzystamy z nierówności Bernoulliego:
1+ n
n…
… , a więc
(∀ε > 0)(∃nε )(∀n > nε ) a − ε < an
a<a+ε
a to oznacza, że lim an = a .
n→∞
Dla ciągu nierosnącego dowód jest analogiczny.
♥
Przykład 2.6 Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu zadanego rekurencyjnie
√
√
a1 = 2 , an+1 = 2 + an , n ∈ N
n
1
Przykład 2.7 (Liczba e ) Ciąg o wyrazach an = 1 + n
jest zbieżny. Granicę tego
ciągu nazywa się stałą Eulera i oznacza e . Jest ona podstawą logarytmów…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)