Własności liczby e - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 532
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Własności liczby e  - omówienie  - strona 1 Własności liczby e  - omówienie  - strona 2 Własności liczby e  - omówienie  - strona 3

Fragment notatki:

Przykład 2.9

1. Ciągi {n} , {n2 } , { n} , {log n} są rozbieżne do +∞ ;
1
2. Ciągi {−n} , {−n5 } , {log n } są rozbieżne do −∞ ;
3. Ciągi {(−1)n } , {(−2)n } nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do +∞ lub −∞ . Są to
ciągi rozbieżne. Pierwszy jest ograniczony, drugi nie.
Opuszczając niektóre wyrazy ciągu możemy utworzyć nowy ciąg.
Definicja 2.6 (Ciąg częściowy lub podciąg) Niech {an }∞ będzie dowolnym ciąn=1
giem liczbowym, a {nk }∞ rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ciąg {ank }∞ nazywamy
k=1
k=1
ciągiem częściowym ciągu {an } .
Przykład 2.10
1. Ciąg
1
2k

k=1

1
n n=1 .
jest ciągiem częściowym ciągu
2. Ciąg liczb pierwszych jest podciągiem ciągu liczb naturalnych.
Lemat 2.4 (Podciągi ciągu zbieżnego) Jesli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg
jest zbieżny do tej samej granicy.
Ciąg, który nie jest zbieżny może (ale nie musi) mieć podciągi zbieżne.
Lemat 2.5 Jeśli każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby g, to
wyjściowy ciąg jest zbieżny do g.
2.1
Własności liczby e
Lemat 2.6 Prawdziwa jest równość
n
1
n→∞
k!
k=0
e = lim
a ponadto dla każdego n
(1)
n
1
1
k i odrzućmy wszystkie składniki,
1
które występują po wyrażeniu zawierającym k! . Dostaniemy prawdziwą dla wszystkich
n k nierówność
xn 2 +
1
2!
1−
1
n
1
+ k! 1 −
+
1
n
1
3!
1−
1−
2
n
1
n
1−
... 1 −
2
n
+ ...
k−1
n
Przechodząc z n do nieskończoności, przy ustalonym k , dostajemy nierówność
e
2+
1
1
+ ... +
2!
k!
8
Oznaczmy prawą stronę tej nierówności przez yk . Mamy więc nierówności
xk

(…)

… nierówność jest też ostra ze względu na silną
monotoniczność ciągu yk . Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy równość (1).
Teraz udowodnimy oszacowanie (2). Dla dowolnych n, m ∈ N mamy
yn+m − yn =
1
1
1
1
1+
<
+
+ ... +
(n + 1)!
n + 2 (n + 2)(n + 3)
(n + 2) · . . . · (n + m)
1
1
1
1
1+
<
+
+ ... +
2
(n + 1)!
n + 2 (n + 2)
(n + 2)m−1
1
n+2
1
1
·
1 = (n + 1)! · n + 1
(n + 1)! 1 − n+2
Przechodząc z m…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz