To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
75. Definicja i własności granicy ciągu, ciąg ograniczony, warunek Cauchy'ego, przestrzeń metryczna zupełna. Def. granicy ciągu Ciąg elementów przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeżeli :
Własności podstawowe ciągu : 1. ciąg nie ma więcej niż jednej granicy
2. jeśli ciąg jest od pewnego miejsca stały tzn. to ciąg jest zbieżny do c
3. jeśli w ciągu zbieżnym zamienić, dodać lub odjąć skończoną liczbę wyrazów to ciąg pozostanie zbieżny do tej samej granicy.
4. Podciąg nieskończony ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy (podciąg = ciąg wyrwany).
5. Ciąg jest zbieżny do wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg z niego wyrwany zawiera podciąg zbieżny do .
Def. ciągu ograniczonego : Ciąg nazywamy ograniczonym gdy istnieje kula K taka, że Ciąg zbieżny jest ograniczony
Warunek Cauchy'ego: Ciąg elementów przestrzeni metrycznej x spełnia warunek Cauchy'ego (jest ciągiem Cauchy'ego) gdy dla:
Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego.
Przestrzeń metrycza zupełna Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego jej elementów jest zbieżny do pewnego jej elementu.
76. Przykłady obliczania granicy ciągów... 77. Własności ciągów zbieżnych, twierdzenie o średnich arytmetycznych, twierdzenie o średnich geometrycznych. Własności ciągów zbieżnych: 1. Jeśli ciąg () jest ograniczony i () zbieżny do 0 to () *() jest zbieżny do 0.
2. Jeśli ciągi (),() są zbieżne (mają granicę) oraz istnieje , , to 3. Jeśli ciągi (),() są zbieżne to zbieżne są ciągi (+),(-),(*) oraz (c*) c=const
ponadto :
Jeśli ponadto założymy, że to ciągjest zbieżny.
Twierdzenie o średnich arytmetycznych Jeżeli to , Tw. o średnich geometrycznych Jeżeli to , 82. Kryteria zbieżności szeregów. 1. Porównawcze jeśli nNo - zbieżność - rozbieżność
2. Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Jeżeli istnieje 0No
Θ to to szereg jest zbieżny
Jeżeli 1 to szereg jest rozbieżny. 3. Kryterium de'Alemberta Jeśli w ciągu to ciąg jest zbieżny
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)