To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Granica (właściwa) i zbieżność Niech (an) będzie ciągiem (skończonym bądź nieskończonym) liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę g nazywa się granicą ciągu (an), jeżeli
gdzie symbol oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.
W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy an leżą w kole z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.
Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:
dla dowolnej dodatniej liczby istnieje taki wskaźnik N, że dla wszystkich wskaźników n większych od N wyrazy an leżą w kole o środku g i promieniu Granicę ciągu (an) oznacza się lub po prostu , a fakt, że g jest granicą ciągu (an), niekiedy oznacza się lub i czyta się: „ciąg an dąży do granicy g”.
Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe - rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.
Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.
Granice niewłaściwe Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Są to te ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; można powiedzieć, że dążą one do punktu w nieskończoności. Jest to związane z pojęciem uzwarcenia (kompaktyfikacji) zbiorów liczb rzeczywistych lub zespolonych (zależnie od wyrazów danego ciągu). Często tego rodzaju rozszerzenie umożliwia ogólniejsze ujęcie definicji i własności związanych z granicami ciągów.
W przypadku granic niewłaściwych zbiór liczb rzeczywistych zostaje rozszerzony o dwa nowe elementy oznaczane . Topologicznie w efekcie takiej operacji uzyskuje się zbiór homeomorficzny z odcinkiem domkniętym. Rozszerzony w ten sposób zbiór oznacza się zazwyczaj . W przypadku granicy niewłaściwej zbiory liczb rzeczywistych bądź zespolonych są rozszerzone o nowy element oznaczany symbolem . Topologicznie rozszerzenie tego typu jest homeomorficzne odpowiednio z okręgiem lub ze sferą. Tak rozszerzony zbiór
(…)
… wymiernych (którego wyrazy są kolejnymi obcięciami rozszerzenia dziesiętnego) ma granicę będącą określoną liczbą rzeczywistą. Na podobnej zasadzie ciągi Cauchy'ego posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.
Granica funkcji - nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi…
…: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja ma w punkcie x0 granicę , funkcja ma w punkcie y0 granicę , przy czym x0 i y0 są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz B…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)