To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 15
SZEREGI
Niech: - przestrzeń Banacha
tworzymy ciąg : DEFINICJA 15.1 (SZEREGI)
{ , } - szereg,
oznaczenie szeregu (1): DEFINICJA 15.2 Szereg (1) jest zbieżny , , S nazywamy sumą szeregu (1) i oznaczamy TWIERDZENIE 15.1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU)
Z: szereg - zbieżny
T: Dowód:
Z założenia - zatem jest ciągiem Cauchy'ego, tzn. ,
w szczególności dla m=n-1, mamy:
PRZYKŁAD 15.1 , Badamy czy szereg jest zbieżny:
- czy jest to ciąg Cauchy'ego?
, co oznacza, że nie jest ciągiem Cauchy'ego,
zatem szereg jest rozbieżny
DEFINICJA 15.3 (ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA)
- przestrzeń Banacha
Szereg - bezwzględnie zbieżny - zbieżny
TWIERDZENIE 15.2 Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
Z: szereg - bezwzględnie zbieżny
T: szereg - zbieżny
Dowód:
Niech , Wystarczy pokazać, że jest ciągiem Cauchy'ego.
bo jest ciągiem Cauchy'ego
Na podstawie twierdzenia o 3 ciągach SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 15.3 (I KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Z: T: 1) -zbieżny - zbieżny
2) -rozbieżny - rozbieżny
Dowód: Niech , Zauważmy, że
Ad. 1)
Pokazaliśmy, że:
Ad. 2)
- rozbieżny jest rozbieżny
PRZYKŁAD 15.2 - rozbieżny
- zbieżny
, -rozbieżny (przykład 15.1)
, - rozbieżny - rozbieżny (na podstawie I kryterium porównawczego)
Niech , k=1, , , gdzie -zbieżny
TWIERDZENIE 15.4 (II KRYTERIUM PORÓWNAWCZE - GRANICZNE)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)