To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 9
Zbieżność jednostajna
- przestrzeń z miarą
DEFINICJA 9.1 (CIĄG CAUCHY'EGO)
- ciąg Cauchy'ego co można również zapisać, że TWIERDZENIE 9.1 W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego
Z: T: D: dla prawdziwe jest: Wiemy że: oraz A więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach stwierdzamy że dla , co kończy nasz dowód.
Uwaga:
Nie w każdej przestrzeni metrycznej jest prawdziwe twierdzenie odwrotne
(tzn. nie każdy ciąg Cauchy'ego jest ciągiem zbieżnym)
DEFINICJA 9.2 (PRZESTRZEŃ ZUPEŁNA)
Przestrzeń metryczna jest zupełna każdy ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny do granicy należącej do tej przestrzeni
- przestrzeń zupełna PRZYKŁAD 9.1
- przestrzeń metryczna, gdzie przestrzeń ta jest przestrzenią zupełną
a) - przestrzeń metryczna, gdzie - odległość euklidesowa
b) - przestrzeń metryczna, gdzie - odległość taksówkowa
c) - przestrzeń metryczna, gdzie - odległość maksimum
Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną
a) - przestrzeń metryczna, gdzie - odległość euklidesowa
b) - przestrzeń metryczna, gdzie - odległość taksówkowa
c) - przestrzeń metryczna, gdzie - odległość maksimum
Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną.
DEFINICJA 9.3 (ZBIÓR ZWARTY (CIĄGOWO ZWARTY))
- przestrzeń metryczna
To znaczy że z każdego ciągu elementów tego zbioru można wybrać podciąg zbieżny do granicy należącej do tego zbioru.
TWIERDZENIE 9.2 Zbiór jest zwarty jest zbiorem domkniętym i ograniczonym
ODWZOROWANIA CIĄGŁE
DEFINICJA 9.4 (OBRAZ I PRZECIWOBRAZ ZBIORU)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
Niech - obraz zbioru poprzez odwzorowanie - przeciwobraz zbioru
(…)
… poprzez odwzorowanie - przeciwobraz zbioru PRZYKŁAD 9.2
; ; ; DEFINICJA 9.5 (GRANICA FUNKCJI)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
1o. Def. Cauchy'ego (topologiczna)
2o. Def. Cauchy'ego (w przestrzeni metrycznej)
3o. Def. Heinego
DEFINICJA 9.6 (FUNKCJA CIĄGŁA)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
- funkcja ciągła w - ciągła w zbiorze funkcja f jest ciągła w każdym - ciągła w zbiorze słownie: - ciągła w przeciwobraz zbioru otwartego (dowolnego) jest zbiorem otwartym
TWIERDZENIE 9.3 (O ZŁOŻENIU ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH)
Z: - przestrzenie metryczne
odwzorowanie ciągłe
T: - ciągłe
D: Niech Pokazaliśmy że , gdzie , bo - funkcja ciągła
oraz bo - funkcja ciągła
czyli - funkcja ciągła
DEFINICJA 9.7 (ODWZOROWANIE OGRANICZONE)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
- odwzorowanie ograniczone - ograniczone…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)