Kryteria zawartości w przestrzeniach

KRYTERIA ZWARTO Ś CI W NIEKTÓRYCH PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH Kryterium zbie Ŝ no ś ci w R n Wiemy, Ŝ e zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej s ą domkni ę te i ograniczone. Okazuje si ę , Ŝ e R n z dowoln ą metryk ą d generowan ą przez norm ę ||  || wzorem  x,y  R n d(x,y) = ||x-y|| Domkni ę to ść i ograniczono ść zbiorów s ą warunkiem koniecznym i dostatecznym dla zwarto ś ci zbiorów w tej przestrzeni. Definicja Funkcj ę ||  || okre ś lon ą na przestrzeni liniowej rzeczywistej X nazywamy norm ą , gdy spełnia ona nast ę puj ą ce warunki 1) x  0  x   2)    R  x  X  x    x (jednorodno ść ) 3)  z , y  X x  y  x  y Twierdzenie Zbiór A w przestrzeni metrycznej (R n ,d T ) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkni ę ty i ograniczony. Twierdzenie Arzeli Zbiór A w przestrzeni metrycznej C[a,b] z metryk ą zbioru jednostajnego jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety i ograniczony w tej metryce. (Ograniczono ść oznacza tutaj wspólna ograniczono ść na przedziale [a,b] wszystkich funkcji zbioru A oraz funkcje tego zbioru s ą jednakowo jednostajnie ci ą głe.) Twierdzenia Riesza W ka Ŝ dej niesko ń czenie wymiarowej przestrzeni liniowej metrycznej z metryk ą generowan ą przez ppewn ą norm ę , istnieje zbiór ograniczony i domkni ę ty, który nie jest zwarty. ... zobacz całą notatkę