CZbiory domknięte w przestrzeniach

PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE I NIEZUPEŁNE Definicja Przestrze ń metryczn ą (X,d) nazywamy zupełn ą , gdy ka Ŝ dy ci ą g Cauchy'ego jest zbie Ŝ ny do pewnego elementu tej przestrzeni. Definicja Przestrzenie, które nie s ą zupełne nazywamy niezupełnymi . CHARAKTERYZACJA ZBIORÓW DOMKNI Ę TYCH W PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH Twierdzenie Zbiór A w przestrzeni metrycznej (X,d) jest domkni ę ty , wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, Ŝ e  ( )  1 n n x jest ci ą giem elementów zbioru A, x  X: ( , ) → 0 n n → d x x wynika, Ŝ e x  A. Definicja (operacja domkni ę cia) Domkni ę cie zbioru A  2 X przestrzeni metrycznej (X,d) jest to przekrój wszystkich zbiorów domkni ę tych zawieraj ą cy zbiór A. Definicja (punkty skupienia) Niech (X,d) b ę dzie przestrzeni ą metryczn ą i niech A  X. Punkt x  X nazywamy punktem skupienia zbioru A , gdy istnieje ci ą g   1 ( ) n n x elementów zbioru taki, Ŝ e  n  N x n ≠ x ponadto x x n n → → Definicja (punkty izolowane) Punkty zbioru A, które nie s ą punktami skupienia, nazywamy punktami izolowanymi . Stwierdzenie Przez A d oznaczymy zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A. Twierdzenie Z charakteryzacji zbiorów domkni ę tych mówi ą cej, Ŝ e zbiór A  X jest domkni ę ty w przestrzeni metrycznej (X,d) wtedy i tylko wtedy, gdy ka Ŝ da granica wq metryki d ci ą gu elementów zbioru A nale Ŝ y do zbioru A, mówimy, Ŝ e A d  A wtedy i tylko wtedy gdy A jest domkni ę ty. Zatem z tej charakteryzacji wynika nast ę puj ą ca charakteryzacja operacji domkni ę cia Twierdzenie  A  2 x A =A  A d Definicja (wn ę trze zbioru) {intuicyjna definicja} Wn ę trze zbioru jest to najwi ę kszy zbiór otwarty zawarty w zbiorze A Twierdzenie (wn ę trze zbioru) W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) i dowolnego zbioru A  X wn ę trze {Int(A)} zbioru A jest równe sumie wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A Definicja (brzeg zbioru) {intuicyjna}  (A) = A \Int(A) Twierdzenie W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) dla dowolnego zbioru A  X mamy równo ść _________  ( A )  A  ( X \ A )

(…)

…
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE I NIEZUPEŁNE
Definicja
Przestrzeń metryczną (X,d) nazywamy zupełną, gdy kaŜdy ciąg Cauchy'ego jest zbieŜny do
pewnego elementu tej przestrzeni.
Definicja
Przestrzenie, które nie są zupełne nazywamy niezupełnymi.
CHARAKTERYZACJA ZBIORÓW DOMKNIĘTYCH W PRZESTRZENIACH
METRYCZNYCH
Twierdzenie
Zbiór A w przestrzeni metrycznej (X,d) jest domknięty, wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, Ŝe

( ) 1 n n x jest ciągiem elementów zbioru A, xX: ( , )→0 n n→ d x x wynika, Ŝe xA.
Definicja (operacja domknięcia)
Domknięcie zbioru A2X przestrzeni metrycznej (X,d) jest to przekrój wszystkich zbiorów
domkniętych zawierający zbiór A.
Definicja (punkty skupienia)
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech AX. Punkt xX nazywamy punktem
skupienia zbioru A, gdy istnieje ciąg 
1…
... zobacz całą notatkę