przestrzenie zwarte

pdf. dotycząca przestrzeni zwartych.

Notatka zawiera definicje, wzory, dowody, twierdzenia z zagadnienia przestrzenie zwarte.

Przestrzenie zwarte
Niech  X  – przestrzeń metryczna oraz niech E ⊂ X .Definicja
Zbiór  E  nazywamy zwartym (ciągowo zwartym), jeśli
∀ x 
⊂E ∃ x 
:  lim x ∈E.n n∈ℕn k ∈ℕnkk ∞k
i piszemy  E∈Comp X.DefinicjaPrzestrzeń metrycznną (X,d) nazywamy przestrzenią zwartą, jeśli X jest zbiorem zwartym.Przykład1) ∅ - zbiór zwarty2)    Zbiorem zwartym jest każdy zbiór skończonyTwierdzenieNiech
           Kn - przestrzeń metryczna ze standardową metryką,           E⊂Kn.
Wtedy           E ∈CompKn  ⇔   E−domknięty i ograniczony.Twierdzenie
Niech
           X , d −przestrzeń metryczna,           E⊂ X ,
           U ∈Top X dla  j∈J .j
WtedyE ∈Comp X  ⇔  [ E⊂ ∪ U  ⇒  ∃{ j ,... , j }⊂J : E⊂U ∪...∪U ]j
1rjjj∈J
1u
                           (z każdego pokrycia zbioru  E  zbiorami otwartymi można wybrać                            podpokrycie skończone )Twierdzenie (o zachowaniu zwartości)X ,Y −przestrzenie metryczneE−zwarty w  Xf ∈C  X 
} ⇒ f[E]−zwarty,
tzn. obraz ciągły zbioru zwartego jest zwarty.
- 1 -Dowód
Niech  y 
⊂ f [ E ].n n∈ℕ

Wtedy  ∀ n∈ℕ   wybieramy   x ∈ f −1[{ y }]∈E .nn
Stąd
         x 
⊂E   ⇒
E - zwarty  ∃x  ⊂x  :  lim x ∈E   f ⇒
−ciągłe   lim f x ∈ f [E]n n∈ℕn k ∈ℕn n∈ℕnnkk ∞kk ∞kWniosek (twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów)X ∈Compf : X  ℝf ∈C  X  }f a=inf { f  x: x∈ X }
⇒  ∃a , b∈ X : { f b=sup{ f x:x∈X }
- 2 - ... zobacz całą notatkę